培養低段兒童運用畫圖策略的能力之我見

朱兢兢

[摘 ?要] 根據《數學課程標準（2011年版）解讀》指出，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。因此，培養低段兒童運用畫圖策略，對提高他們解決實際問題的能力，具有重要意義。筆者明確了低段兒童能夠掌握的畫圖策略的基本特征，提出了要在日常教學中增強低段兒童的畫圖意識，最后給出了幾個低段兒童適宜掌握的畫圖策略，以供參考。

[關鍵詞] 畫圖策略;低段數學教學;解決問題

在低段數學教學中，筆者發現了這樣一個現象：學生“似會非會”。部分學生課堂表現良好，能夠積極動腦，似乎已經理解、掌握了大部分知識。但當他們自己完成同樣類型的題目，有時卻會出現一些不該有的錯誤。問其原因，往往是“我粗心了”。但我們不能把這種現象簡單地歸因為“粗心大意”，要求學生“下次努力”。深入分析，我們會發現，學生出錯，往往是因為他不能獨立地正確梳理、分析題意。低年級學生的思維具有明顯的形象性，所以，當學生遇到具有較高的抽象性的題目時，是容易出錯的。為了改善這個問題，變抽象為具體，我們要培養學生使用畫圖策略的能力。有別于中高段學生，低段學生要掌握適合他們的畫圖策略，教師就要遵循陶行知先生“生活即教育”的理念，讓學生感受數學與生活的聯系，讓學生在“做”中研究，“做”中抽象，“做”中學習，真正做到一切從學生出發。

一、明確低段畫圖策略的基本特征

中高段學生解決問題時，較常使用畫線段圖等策略表示較為復雜的數量關系，相對而言具有較強的邏輯性與抽象性。根據低段學生身心發展特點，他們能夠掌握的畫圖策略也是有別于中高段學生的。筆者認為，低段學生的畫圖策略有以下三個基本特征。

1. 直觀性。低段學生運用畫圖策略解決實際問題的目標就是“化繁為簡”“化抽象為直觀”。這是低段學生運用畫圖策略最基本的特征。

2. 生動性。從低段學生的思維發展的特點出發，為解決問題而服務的示意圖一定不能過于枯燥和抽象，可以嘗試多種不同的畫圖策略，讓學生感受、認識數學的“形”之美。如教師可以根據實際情況引入簡單的“維恩圖”直觀表示數量關系式;引入簡單的線段圖表示數量關系;也可以用線段、圓圈等簡易圖形畫示意圖，表示人、物的排列順序等。

3. 實用性。低段學生所要了解、掌握的畫圖策略應當是簡潔的，是為解決生活中的實際問題而準備的。因此，教師切記不能要求學生為“畫圖而畫圖”，而應當“為解決問題而畫圖”。

二、增強低段學生的畫圖意識

華羅庚曾經說過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微。特別是考慮到低段學生的思維發展的特點，數形結合的學習方法具有相當積極的正面作用。這意味著，在日常教學中，教師要培養學生運用畫圖策略的意識。筆者認為，教師可以從以下三方面展開工作。

首先，教師要有意識在日常教學中滲透畫圖策略。舉個例子，教師可以有意識地用擴線圖來整理、記錄、表達題意。舉例：樹上有7只鳥，先飛走了3只，還剩多少只？教師運用擴線圖表示條件和問題，可以幫助學生更直觀地理解條件與問題的關系。

第二，教師要激發學生的主觀能動性。要培養學生的畫圖意識，最重要的是要學生深切感受到運用畫圖策略的需要，感受示意圖產生的過程。如練習中有“鋸木頭”一類的問題：把一根木頭鋸成2段要3分鐘，鋸成4段要幾分鐘？此時，學生發現，憑空想象難以理解題意。這時候，教師可以引導學生經過實際操作、尋找規律、畫圖總結等過程，逐漸養成運用畫圖策略解決問題的習慣。

第三，根據實際情況，給予學生正面回應。低段學生在嘗試使用畫圖策略解決問題時，一定會遇到困難。教師要根據低段學生的思維以及身心發展特點，給予鼓勵，還有適當地幫助與指導。只有提高學生的自信心，才能激發他們對數學的熱愛之情。

三、培養學生運用多種畫圖策略解決問題的能力

根據低段學生運用畫圖策略的基本原則，筆者認為，教師可以從以下三個方面入手，培養學生運用畫圖策略解決實際問題的能力。

1. 聯系舊知，化數為圖

美國教育心理學家布魯納認為：不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的結構。在小學低段數學教學中，我們也應當有意識地培養學生的數學結構化思維。其中的基本策略之一就是充分聯系舊知識，解決新問題。

如蘇教版一年級下冊，學生初步接觸雙數、單數，感受單雙數的基本性質時，書本上有一道思考題：你能將19支鉛筆分別放入兩個筆筒，使兩個筆筒內的筆同樣多嗎？低年級學生首先產生操作的需要，隨即學生會發現，操作的過程是煩瑣的，于是產生了畫圖抽象、總結的需要。但是畫的圖往往“圖不達意”，不能幫助他們解決問題。

學生在解決這個問題前，已經初步在“兩個兩個地數”的數數練習中接觸過單數、雙數的概念，因此，教師可以啟發學生聯系舊知解決問題。教師可以幫助學生回顧“兩個兩個地圈一圈，數一數”的方法（如圖1），激發他們的數學靈感。

教師提問：數數時，我們可以兩個兩個地邊圈邊數，那么，分鉛筆時，要同時分給兩個筆筒各一支，我們可以怎么數？學生受到啟發，想到能用類似的方法解決問題。教師可以先指導學生畫19根線作為鉛筆示意圖，然后兩兩圈起（如圖2）。在這里，教師可以追問學生圓圈表示什么？讓學生充分體悟示意圖的意義：示意圖表示每個筆筒每次同時各得一支。最后學生發現19支是單數，兩個兩個地圈會多出一支，最終得出結論：無法使兩個筆筒內的筆同樣多。

教師還可以再追問：能否將30支鉛筆分別放入兩個筆筒，使兩個筆筒內的筆同樣多？45支呢？此時，學生由于已經成功地運用了畫圖策略，能夠正確做到理解題意，初步感受單雙數的特征，真正做到“走進圖，再走出圖”。

聯系舊知，化數為圖，一方面能夠幫助學生充分分析題意;另一方面，這種方法還進一步發展了學生的數感，從而不斷地完善、建構他們已有的知識結構。

2. 標注重點，圖形表意

華旦玲認為，低年級學生的思維水平還處于形象思維階段，離不開具體事物的支持。因此，當問題的文字表述較多，抽象性較高時，學生往往不能很好地理解題意，從而“粗心”出錯。因此，如何根據題意，運用符號、圖形來直觀地表示題意，成為學生是否能夠正確解決問題、提高數學素養的關鍵。

舉個例子，在一年級下冊數學學習中，學生往往在相似的“排隊問題”中出錯。如：（1）小米前面有4人，后面有3人，一共有幾人？（2）從前往后數，小米排在第4個，從后往前數，小米排在第3個，一共有幾人？這兩個問題，學生容易審題不清，混淆“幾”和“第幾”。

因此，教師首先應要求學生養成良好的數學學習習慣。第一，教師應要求學生仔細審題，圈出關鍵字詞。以本題為例，學生容易混淆“幾”和“第幾”，那么，教師可以引導學生先排排隊，充分了解“幾”和“第幾”的區別，并圈出題目中的關鍵詞。第二，由于題目文字表述具有較高的抽象性，可以讓學生經歷排隊感知，再到畫圖抽象的過程。

以這兩道題為例，教師可以啟發學生：你能不能把這些小朋友畫出來，讓他們排排隊？在教師的提示下，部分學生可以畫出頗為出色的示意圖，此時，教師再組織學生交流，優化方法。我們可以根據題意，用實心圓表示小米，空心圓表示其他同學來畫示意圖，并且討論這樣做的益處：這樣可以幫助我們更直觀、更形象地理解“幾”和“第幾”的不同，真正做到審題、審懂題目（如圖3）。

通過這樣的環節，學生才能真正學會如何運用畫圖策略解決問題。

又如，當學生面對問題：（1）小明有4塊糖，小紅的糖的數量只有他的一半，小紅有多少糖？（2）小明有4塊糖，他的糖的數量只有小紅的一半，小紅有多少糖？學生往往容易混淆其中的數量關系。特別是低段學生沒有“倍”的概念，因此理解題意的難度更大。

此時，教師可以先鼓勵學生仔細審題，圈出關鍵詞句“誰是誰的一半”;再啟發學生聯系已有知識，積極動手動腦，解決問題。可以啟發學生：你能先表示出小明的糖塊數量嗎？學生往往會采取畫4個圓的方式表示小明的糖塊數量。然后，教師可以進一步啟發：我們可以怎么表示小紅的？你有什么要提醒大家的嗎？學生經過思考，聯系已有舊知“一一對應”的思想，可以借助兩人糖塊的數量關系，表示出小紅的糖塊數量，從而，達到理解題意、解決問題的目的。在這里，教師也可以滲透“線段圖”的畫法（如圖4）。

3. 構建模型，圖形表征

在蘇教版一年級下冊的內容中，“認識人民幣”是難度較大的一個單元，對學生的抽象思維要求較高。例如，當他們面對問題：（1）文具盒14元，付出20元，找回多少元？（2）買一個文具盒，付出20元，找回6元，文具盒多少元？（3）文具盒14元，付出一些錢后，找回6元，付出多少元？部分學生不理解題意，用錯加減法。

他們的困難往往源于缺乏足夠的生活經驗，不理解“付出的錢-物品價格=找回的錢”的數量關系式。為了加強學生對數量關系的理解，一方面，教師要注意把數學知識與實際生活相聯系，要設置適當的情境，也就是在“做中學，學中做”;另一方面，教師可以運用數形結合的思想，構建數量關系的模型，培養學生的建模思想。

以這3道題為例，教師可以這樣啟發學生：我們出去買東西，要付出一些錢（畫一個大橢圓，標注“付出的錢”），有時候，我們付出的錢比物品價格多（分欄，標注“物品價格”）。此時，追問學生：那剩下的錢是什么？學生可以通過生活經驗回答：找回的錢。這樣，我們就通過畫圖策略將三者的數量關系合并到了一張圖里，創造如圖5的數學模型。

通過圖像表征，學生得以從直觀上進一步加深對三者數量關系的認識，在理解的基礎上內化知識，從而解決問題。教師還可以追問“什么時候不需要找錢”等問題，讓學生將前后知識聯系起來，進一步理解“付出的錢=物品價格”等情況，不斷完善、建構他們已有知識結構。

畫圖策略對提高低段學生解決問題的能力具有重要意義，也是低段數學教師要繼續開拓的領域。相信教師只要從學生出發，不斷學習陶行知先生的教育理念，不斷思考，不斷進取，一定能有更大的發現，能進一步全方位地提高學生數學素養。

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