基于方位角和勻速圓周運動的單站無源定位算法

管 軍，任塨曄，房善婷，陸 翔

(中國船舶集團有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

單站通過對輻射源目標發射的電磁信號進行截獲測向，結合定位算法可實現對目標定位。在無源定位過程中，單站不會向目標發射偵察信號，實現了自身的電磁隱蔽。另外，運動單站在機動中不斷改變自身的空間位置，降低了被發現和跟蹤的概率。隨著參數測量能力和處理能力的提高，單站可以利用測量到的輻射源信號的相位差變化率、多普勒頻率、方位角等數據來實現無源定位[1]，但這類定位算法的性能往往受限于測量設備以及測量結果的可靠性。考慮到針對輻射源信號的測向結果可靠性、易獲取性更高，因此研究基于方位角量測的單站無源定位仍具有重要意義。

對目標進行定位，目標的位置、速度等可算作時變參數，所以針對運動目標的定位問題實際上也是狀態估計問題[2]。對于輻射源截獲，可獲得的觀測量只有目標相對于單站的方位角，不可直接觀測的量有目標的位置、速度，因此本文將目標的測向結果作為顯式觀測量，將目標的位置作為隱變量，建立起目標狀態方程和量測方程；考慮到量測方程的非線性，采用一種偽線性卡爾曼濾波[3]，該濾波算法不依賴初始狀態和協方差，且魯棒性較好，濾波發散情況也得到改善；最后設計仿真試驗，在兩種典型情況下對所提定位算法的有效性和性能進行驗證。

1 系統模型

(1)

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式中，tm為任意參考時刻；ti為觀測時刻；下標m、i分別對應時刻tm和ti。

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在ti時刻，將單站觀測得到的目標方位角量測記為βi，且

(7)

式中，tan-1(·)為反正切函數；ni為測角誤差，是滿足獨立同分布，且均值為0、方差為σ2的高斯隨機變量。

1.1 狀態方程和量測方程

(8)

(9)

以單站狀態Xo為參考值，用X=Xt-Xo=[x,vx,y,vy]T表示目標的相對狀態，由式(8)和式(9)可以得到k+1時刻的離散狀態方程為

(10)

考慮到量測數據只有方位角βk+1，量測方程表達式如下：

(11)

1.2 卡爾曼濾波

式(11)是非線性的，上述狀態估計問題可采用拓展卡爾曼濾波(EKF)或者不敏卡爾曼濾波(UKF)進行求解，其中EKF依賴初始狀態和協方差，可能出現濾波發散，UKF雖有較好的穩健性，但由于涉及矩陣運算，計算量較大[2]。本文采用文獻[3]提出的偽線性卡爾曼濾波，通過將式(11)變型，得到

式中，εk+1為有效噪聲。

與EKF算法中取βk+1為量測不同，該量測方程中恒以0為量測值，將非線性因素歸入噪聲εk+1中。該方法不依賴初始狀態和協方差，且魯棒性較好，濾波發散情況也得到改善，具體濾波過程總結如下：

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式中，Hk=[sin(βk),0,-cos(βk),0]；

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步驟2-5：計算濾波器增益Gk：

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步驟2-6：更新狀態：

(18)

步驟2-7：更新協方差：

(19)

1.3 可觀測性條件

單站定位問題的可觀測性是指通過對單站截獲的量測數據進行某種計算，能夠確保解出唯一位置結果。文獻[4]給出一種單站機動要滿足的必要條件，其表達式如下：

(20)

式中，上角標r表示當前量為相對值，即式中相關坐標、速度、加速度是以單站為參考零點的相對值。

由式(20)可知，若單站進行勻速直線運動，則不滿足該可觀測性條件，因而單站無法在勻速行進中對勻速目標進行定位，定位結果無法保證唯一性。

2 算 法

本文所提出的基于方位角和勻速圓周運動的單站無源定位算法可概括如下，在直角坐標系下：

步驟1：在tk時刻，單站測得勻速運動目標相對于自身的方位角βk，其中tk=kΔT，k=0，1，2，3，…，ΔT為測量周期；

步驟2：自t0時刻起，單站以恒定速率vo進行勻速圓周運動，機動路線按照如下子步驟進行：

步驟2-1：調整單站初速度方向為α0；

步驟2-2：單站作向心加速度大小為a1、方向指向目標所在一側的勻速圓周運動，并持續時長t1=voθ1/a1，θ1是本段勻速圓周運動對應的圓心角；

步驟2-3：單站速度方向不變，作向心加速度大小為a2的勻速圓周運動，并持續時長t2=voθ2/a2，θ2是本段勻速圓周運動對應的圓心角；

步驟2-4：單站速度方向不變，作向心加速度大小為a3的勻速圓周運動，并持續時長t3=voθ3/a3，θ3是本段勻速圓周運動對應的圓心角；

步驟2-5：單站重復步驟2-2到步驟2-4，直到停止對目標定位；其中，α0-θ1-θ2/2=β0；θ3=θ1，且θ1≤30°<θ2，θ1+θ2+θ3≤180°；a3=a1，且a1

3 仿真分析

通過仿真對本文所述方法的性能進行驗證。假設目標初始位置為(71，71)，單站初始位置為(1，1)，單位均為km，輻射源測角誤差標準差為0.53°，采樣間隔Δt取23 s，t0時刻單站測得的目標所在方位為β0。

首先考察目標航向與β0方向垂直的情況，假設目標速度7 m/s，航向角為-π/4(以X軸正方向為0，逆時針方向遞增)；單站速率16 m/s，初始航向α0=θ1+θ2/2+β0，單站機動參數如表1所示。

表1 單站勻速圓周運動參數

104次獨立Monte Carlo試驗的仿真結果如下。圖1給出了單站定位的測距誤差隨觀測時長的收斂曲線。可以看到，測距誤差曲線整體隨時長增加而收斂，當單站累積觀測20 min時，測距誤差根均方值(RMS)約為4.9 km，測距誤差與單站目標之間實際距離的比值約為4.3%；當單站累積觀測40 min時，測距誤差RMS約為6.9 km，測距誤差與單站目標之間實際距離的比值約為6.6%；其中單次仿真試驗的定位結果如圖2所示。

圖1 目標航向與β0方向垂直時的測距誤差曲線

圖2 目標航向與β0方向垂直時的單次定位結果

進一步考察目標航向與β0方向平行的情況，假設目標速度7 m/s不變，航向角為π/4；單站機動參數同上，104次獨立Monte Carlo試驗的仿真結果如下。

圖3給出了單站定位的測距誤差隨觀測時長的收斂曲線，當單站累積觀測20 min時，測距誤差RMS約為9.4 km，測距誤差與單站目標之間實際距離的比值約為7.5%；當單站累積觀測40 min時，測距誤差RMS約為3.3 km，測距誤差與單站目標之間實際距離的比值約為2.6%；其中單次仿真試驗的定位結果如圖4所示。

圖3 目標航向與β0方向平行的測距誤差曲線

圖4 目標航向與β0方向平行的單次定位結果

上述偽線性卡爾曼濾波得到的濾波結果實際上是有偏的[5]，在單站機動下，速度估計結果是漸進無偏的，但距離估計結果仍可能是有偏的，因此需要在單站的機動中使得單站在其與目標連線的中垂線方向上產生盡可能大的加速度或角速率，這樣偽線性卡爾曼濾波才可能收斂到一個無偏解。本文單站機動方案既考慮到了使單站測得的目標角速度較大，也使單站在拐角處的加速度在單站與目標連線的中垂線方向上的分量較大，因而上述試驗中偽線性卡爾曼濾波收斂到無偏解。

4 結束語

本文提出一種基于方位角和勻速圓周運動的單站無源定位算法，單站采取滿足可觀測性條件的多段勻速圓周運動，使得單站測得的目標角速度較大，也使得單站在拐角處的加速度在單站與目標連線的中垂線方向上的分量較大。隨著量測的累加，偽線性卡爾曼濾波的定位精度能夠降至10%以內。為進一步縮短卡爾曼濾波收斂時間，后續研究中可以考慮將多源數據如電子偵察目標位置數據等作為先驗信息的單站無源定位方法。