基于方位角和勻速圓周運(yùn)動的單站無源定位算法

管 軍，任塨曄，房善婷，陸 翔

(中國船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

單站通過對輻射源目標(biāo)發(fā)射的電磁信號進(jìn)行截獲測向，結(jié)合定位算法可實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)定位。在無源定位過程中，單站不會向目標(biāo)發(fā)射偵察信號，實(shí)現(xiàn)了自身的電磁隱蔽。另外，運(yùn)動單站在機(jī)動中不斷改變自身的空間位置，降低了被發(fā)現(xiàn)和跟蹤的概率。隨著參數(shù)測量能力和處理能力的提高，單站可以利用測量到的輻射源信號的相位差變化率、多普勒頻率、方位角等數(shù)據(jù)來實(shí)現(xiàn)無源定位[1]，但這類定位算法的性能往往受限于測量設(shè)備以及測量結(jié)果的可靠性。考慮到針對輻射源信號的測向結(jié)果可靠性、易獲取性更高，因此研究基于方位角量測的單站無源定位仍具有重要意義。

對目標(biāo)進(jìn)行定位，目標(biāo)的位置、速度等可算作時(shí)變參數(shù)，所以針對運(yùn)動目標(biāo)的定位問題實(shí)際上也是狀態(tài)估計(jì)問題[2]。對于輻射源截獲，可獲得的觀測量只有目標(biāo)相對于單站的方位角，不可直接觀測的量有目標(biāo)的位置、速度，因此本文將目標(biāo)的測向結(jié)果作為顯式觀測量，將目標(biāo)的位置作為隱變量，建立起目標(biāo)狀態(tài)方程和量測方程；考慮到量測方程的非線性，采用一種偽線性卡爾曼濾波[3]，該濾波算法不依賴初始狀態(tài)和協(xié)方差，且魯棒性較好，濾波發(fā)散情況也得到改善；最后設(shè)計(jì)仿真試驗(yàn)，在兩種典型情況下對所提定位算法的有效性和性能進(jìn)行驗(yàn)證。

1 系統(tǒng)模型

(1)

(2)

式中，tm為任意參考時(shí)刻；ti為觀測時(shí)刻；下標(biāo)m、i分別對應(yīng)時(shí)刻tm和ti。

(3)

(4)

(5)

(6)

在ti時(shí)刻，將單站觀測得到的目標(biāo)方位角量測記為βi，且

(7)

式中，tan-1(·)為反正切函數(shù)；ni為測角誤差，是滿足獨(dú)立同分布，且均值為0、方差為σ2的高斯隨機(jī)變量。

1.1 狀態(tài)方程和量測方程

(8)

(9)

以單站狀態(tài)Xo為參考值，用X=Xt-Xo=[x,vx,y,vy]T表示目標(biāo)的相對狀態(tài)，由式(8)和式(9)可以得到k+1時(shí)刻的離散狀態(tài)方程為

(10)

考慮到量測數(shù)據(jù)只有方位角βk+1，量測方程表達(dá)式如下：

(11)

1.2 卡爾曼濾波

式(11)是非線性的，上述狀態(tài)估計(jì)問題可采用拓展卡爾曼濾波(EKF)或者不敏卡爾曼濾波(UKF)進(jìn)行求解，其中EKF依賴初始狀態(tài)和協(xié)方差，可能出現(xiàn)濾波發(fā)散，UKF雖有較好的穩(wěn)健性，但由于涉及矩陣運(yùn)算，計(jì)算量較大[2]。本文采用文獻(xiàn)[3]提出的偽線性卡爾曼濾波，通過將式(11)變型，得到

式中，εk+1為有效噪聲。

與EKF算法中取βk+1為量測不同，該量測方程中恒以0為量測值，將非線性因素歸入噪聲εk+1中。該方法不依賴初始狀態(tài)和協(xié)方差，且魯棒性較好，濾波發(fā)散情況也得到改善，具體濾波過程總結(jié)如下：

(13)

(14)

(15)

式中，Hk=[sin(βk),0,-cos(βk),0]；

(16)

步驟2-5：計(jì)算濾波器增益Gk：

(17)

步驟2-6：更新狀態(tài)：

(18)

步驟2-7：更新協(xié)方差：

(19)

1.3 可觀測性條件

單站定位問題的可觀測性是指通過對單站截獲的量測數(shù)據(jù)進(jìn)行某種計(jì)算，能夠確保解出唯一位置結(jié)果。文獻(xiàn)[4]給出一種單站機(jī)動要滿足的必要條件，其表達(dá)式如下：

(20)

式中，上角標(biāo)r表示當(dāng)前量為相對值，即式中相關(guān)坐標(biāo)、速度、加速度是以單站為參考零點(diǎn)的相對值。

由式(20)可知，若單站進(jìn)行勻速直線運(yùn)動，則不滿足該可觀測性條件，因而單站無法在勻速行進(jìn)中對勻速目標(biāo)進(jìn)行定位，定位結(jié)果無法保證唯一性。

2 算 法

本文所提出的基于方位角和勻速圓周運(yùn)動的單站無源定位算法可概括如下，在直角坐標(biāo)系下：

步驟1：在tk時(shí)刻，單站測得勻速運(yùn)動目標(biāo)相對于自身的方位角βk，其中tk=kΔT，k=0，1，2，3，…，ΔT為測量周期；

步驟2：自t0時(shí)刻起，單站以恒定速率vo進(jìn)行勻速圓周運(yùn)動，機(jī)動路線按照如下子步驟進(jìn)行：

步驟2-1：調(diào)整單站初速度方向?yàn)棣?；

步驟2-2：單站作向心加速度大小為a1、方向指向目標(biāo)所在一側(cè)的勻速圓周運(yùn)動，并持續(xù)時(shí)長t1=voθ1/a1，θ1是本段勻速圓周運(yùn)動對應(yīng)的圓心角；

步驟2-3：單站速度方向不變，作向心加速度大小為a2的勻速圓周運(yùn)動，并持續(xù)時(shí)長t2=voθ2/a2，θ2是本段勻速圓周運(yùn)動對應(yīng)的圓心角；

步驟2-4：單站速度方向不變，作向心加速度大小為a3的勻速圓周運(yùn)動，并持續(xù)時(shí)長t3=voθ3/a3，θ3是本段勻速圓周運(yùn)動對應(yīng)的圓心角；

步驟2-5：單站重復(fù)步驟2-2到步驟2-4，直到停止對目標(biāo)定位；其中，α0-θ1-θ2/2=β0；θ3=θ1，且θ1≤30°<θ2，θ1+θ2+θ3≤180°；a3=a1，且a1

3 仿真分析

通過仿真對本文所述方法的性能進(jìn)行驗(yàn)證。假設(shè)目標(biāo)初始位置為(71，71)，單站初始位置為(1，1)，單位均為km，輻射源測角誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.53°，采樣間隔Δt取23 s，t0時(shí)刻單站測得的目標(biāo)所在方位為β0。

首先考察目標(biāo)航向與β0方向垂直的情況，假設(shè)目標(biāo)速度7 m/s，航向角為-π/4(以X軸正方向?yàn)?，逆時(shí)針方向遞增)；單站速率16 m/s，初始航向α0=θ1+θ2/2+β0，單站機(jī)動參數(shù)如表1所示。

表1 單站勻速圓周運(yùn)動參數(shù)

104次獨(dú)立Monte Carlo試驗(yàn)的仿真結(jié)果如下。圖1給出了單站定位的測距誤差隨觀測時(shí)長的收斂曲線。可以看到，測距誤差曲線整體隨時(shí)長增加而收斂，當(dāng)單站累積觀測20 min時(shí)，測距誤差根均方值(RMS)約為4.9 km，測距誤差與單站目標(biāo)之間實(shí)際距離的比值約為4.3%；當(dāng)單站累積觀測40 min時(shí)，測距誤差RMS約為6.9 km，測距誤差與單站目標(biāo)之間實(shí)際距離的比值約為6.6%；其中單次仿真試驗(yàn)的定位結(jié)果如圖2所示。

圖1 目標(biāo)航向與β0方向垂直時(shí)的測距誤差曲線

圖2 目標(biāo)航向與β0方向垂直時(shí)的單次定位結(jié)果

進(jìn)一步考察目標(biāo)航向與β0方向平行的情況，假設(shè)目標(biāo)速度7 m/s不變，航向角為π/4；單站機(jī)動參數(shù)同上，104次獨(dú)立Monte Carlo試驗(yàn)的仿真結(jié)果如下。

圖3給出了單站定位的測距誤差隨觀測時(shí)長的收斂曲線，當(dāng)單站累積觀測20 min時(shí)，測距誤差RMS約為9.4 km，測距誤差與單站目標(biāo)之間實(shí)際距離的比值約為7.5%；當(dāng)單站累積觀測40 min時(shí)，測距誤差RMS約為3.3 km，測距誤差與單站目標(biāo)之間實(shí)際距離的比值約為2.6%；其中單次仿真試驗(yàn)的定位結(jié)果如圖4所示。

圖3 目標(biāo)航向與β0方向平行的測距誤差曲線

圖4 目標(biāo)航向與β0方向平行的單次定位結(jié)果

上述偽線性卡爾曼濾波得到的濾波結(jié)果實(shí)際上是有偏的[5]，在單站機(jī)動下，速度估計(jì)結(jié)果是漸進(jìn)無偏的，但距離估計(jì)結(jié)果仍可能是有偏的，因此需要在單站的機(jī)動中使得單站在其與目標(biāo)連線的中垂線方向上產(chǎn)生盡可能大的加速度或角速率，這樣偽線性卡爾曼濾波才可能收斂到一個(gè)無偏解。本文單站機(jī)動方案既考慮到了使單站測得的目標(biāo)角速度較大，也使單站在拐角處的加速度在單站與目標(biāo)連線的中垂線方向上的分量較大，因而上述試驗(yàn)中偽線性卡爾曼濾波收斂到無偏解。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于方位角和勻速圓周運(yùn)動的單站無源定位算法，單站采取滿足可觀測性條件的多段勻速圓周運(yùn)動，使得單站測得的目標(biāo)角速度較大，也使得單站在拐角處的加速度在單站與目標(biāo)連線的中垂線方向上的分量較大。隨著量測的累加，偽線性卡爾曼濾波的定位精度能夠降至10%以內(nèi)。為進(jìn)一步縮短卡爾曼濾波收斂時(shí)間，后續(xù)研究中可以考慮將多源數(shù)據(jù)如電子偵察目標(biāo)位置數(shù)據(jù)等作為先驗(yàn)信息的單站無源定位方法。