基于可行點(diǎn)追蹤-連續(xù)凸逼近的MIMO雷達(dá)相容性波形設(shè)計(jì)

宋青青，許 菁，陳 偉，王鑫海

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

隨著雷達(dá)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等電磁輻射系統(tǒng)的發(fā)展，解決雷達(dá)與其威力范圍內(nèi)的己方電磁設(shè)備之間的相容性問(wèn)題正在成為當(dāng)前熱點(diǎn)。根據(jù)雷達(dá)的陣元布置形式不同，多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output，MIMO)雷達(dá)通常可分為分布式和共址兩類(lèi)[1]：分布式MIMO雷達(dá)的陣元間距較大，因此具有較高的空間分集增益[2]；共址MIMO雷達(dá)收發(fā)陣元分布相距較近，能夠提供高分辨率空間譜估計(jì)能力[3]。與相控陣?yán)走_(dá)發(fā)射相干信號(hào)不同，MIMO雷達(dá)的各陣元發(fā)射信號(hào)相互正交。優(yōu)化MIMO雷達(dá)波形達(dá)到干擾抑制的目的是當(dāng)前的雷達(dá)研究熱點(diǎn)之一。為了應(yīng)對(duì)實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)需求，MIMO雷達(dá)波形不僅要具有抗干擾能力，還需要滿足當(dāng)前的工程應(yīng)用要求，包括譜相容性、低峰均比(Peak-to-Average Power Ratio，PAPR)、寬帶和良好的自相關(guān)特性等[4-5]。

近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者發(fā)表了諸多關(guān)于共址MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)的研究成果：在有限能量約束下，文獻(xiàn)[6]提出了基于拉格朗日乘子法的波形設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[7]針對(duì)多信號(hào)依賴干擾存在的情況下，以最大化最差信干噪比為準(zhǔn)則，使用迭代算法實(shí)現(xiàn)了MIMO空時(shí)信號(hào)編碼與空時(shí)濾波器的聯(lián)合設(shè)計(jì)；為實(shí)現(xiàn)MIMO雷達(dá)的相容性波形與濾波器聯(lián)合優(yōu)化，文獻(xiàn)[8]借助對(duì)偶上升法(Dual Ascent Method，DAM)[9]，通過(guò)最小化雷達(dá)在其他己方電磁設(shè)備所工作的空頻區(qū)域內(nèi)的譜能量，實(shí)現(xiàn)對(duì)相容性波形的優(yōu)化，相容性波形設(shè)計(jì)問(wèn)題可看作一類(lèi)非信號(hào)依賴性干擾抑制問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]使用最優(yōu)化方法的思想是最大化信干噪比，并給出了波形在低峰值平均功率比和有限能量約束下的閉式解；文獻(xiàn)[11]提出單調(diào)誤差約束改進(jìn)技術(shù)(Monotonically Error-bound Improving Technique，MERIT)解決恒模二次優(yōu)化問(wèn)題(Unimodular Quadratic Program，UQP)，而且給出了全局最優(yōu)解與局部最優(yōu)解；文獻(xiàn)[12]將原UQP轉(zhuǎn)換為二次優(yōu)化二次約束規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming，QCQP)，提出用連續(xù)QCQP提煉(Successive QCQP Refinement，SQR)方法解決MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)[13]針對(duì)連續(xù)相位優(yōu)化與離散相位優(yōu)化兩種情況提出一種高效的迭代恒模波形求解算法；文獻(xiàn)[14]將文獻(xiàn)[13]中的算法思想與丁克兒爾巴赫(Dinkelbach)算法相結(jié)合，求解了二次分式的優(yōu)化問(wèn)題；基于隨機(jī)化半正定放松技術(shù)，文獻(xiàn)[15]提出了兩種序列優(yōu)化算法(Sequence Optimisation Algorithm，SOA)，但該方法計(jì)算復(fù)雜度較大。目前雷達(dá)波形設(shè)計(jì)常見(jiàn)指標(biāo)包括信號(hào)能量有限性、相似性、信干噪比需求和相容性，但同時(shí)考慮這4方面因素的成果較少。

為了減弱MIMO雷達(dá)與己方電磁輻射設(shè)備之間的相互干擾，本文以最小化己方電磁輻射設(shè)備所占據(jù)空頻域范圍內(nèi)的雷達(dá)譜能量為準(zhǔn)則，提出了基于可行點(diǎn)追蹤-連續(xù)凸逼近(Feasible Point Pursuit-Successive Convex Approximation，F(xiàn)PP-SCA)[16]的雷達(dá)波形與空域-快時(shí)間域?yàn)V波器聯(lián)合優(yōu)化方法。相對(duì)于已有算法，本文算法不僅提高了波形相容性，而且實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)依賴性干擾的有效抑制。

1 信號(hào)模型

假設(shè)雷達(dá)模型架構(gòu)共址MIMO，接收陣列與發(fā)射陣列均為線陣，且分別有Nt與Nr個(gè)陣元，陣元間距為所發(fā)射射頻信號(hào)的半波長(zhǎng)。當(dāng)指向角為θ時(shí)，發(fā)射導(dǎo)引矢量與接收導(dǎo)引矢量分別為

at=[1,ejπsinθ,…,ejπ(Nt-1)sinθ]T

ar=[1,ejπsinθ,…,ejπ(Nr-1)sinθ]T

(1)

令sp∈L為第p個(gè)發(fā)射天線的發(fā)射信號(hào)矢量，其中sp(l)，l=1,2,…,L為sp的第l個(gè)分量，則空時(shí)發(fā)射矩陣可以定義為S=[s1,…,sNt]∈L×Nt，其向量化形式表示為s=vec(S)。設(shè)在雷達(dá)威力范圍內(nèi)存在K個(gè)目標(biāo)和J個(gè)信號(hào)依賴性干擾。第k個(gè)目標(biāo)所在距離門(mén)為mk，其方位角為θk，且ζk為第k個(gè)目標(biāo)的反射系數(shù)，則相應(yīng)的目標(biāo)反射回波為

(2)

其中，Dmk∈L′×L表示為

Dmk=[0L×mk,IL,0L×(L′+L-mk)]T

(3)

式中，L′為每個(gè)天線在一個(gè)脈沖上的采樣點(diǎn)數(shù)。

(4)

因此，總的接收信號(hào)可表示為

(5)

2 構(gòu)建優(yōu)化問(wèn)題

優(yōu)化雷達(dá)波形與濾波器的目的是為了解決共址MIMO雷達(dá)的相容性問(wèn)題，并抑制信號(hào)依賴性干擾。為了確保所構(gòu)建的數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題符合實(shí)際情況，結(jié)合雷達(dá)實(shí)際需求，對(duì)雷達(dá)波形進(jìn)行約束，具體包括相似性約束和信干噪比約束。約束條件的具體概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)相似性

為了保證最優(yōu)波形具有已知波形的某些性質(zhì)，如帶寬、相關(guān)特性等，對(duì)所優(yōu)化波形與參考波形之間進(jìn)行相似性約束，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

‖s-s0‖2≤ε

(6)

其中，s0為一已知的參考波形；ε為相似性系數(shù)，用來(lái)控制優(yōu)化波形與參考波形之間的相似程度，ε越小，所優(yōu)化波形與參考波形相似程度越高。

(2)輸出信干噪比

針對(duì)某個(gè)目標(biāo)，信噪比定義為回波中該目標(biāo)所反射的信號(hào)能量與信號(hào)依賴性干擾、噪聲和其他目標(biāo)的能量和的比值，也就是將除該目標(biāo)外的其他目標(biāo)也看作為干擾，表達(dá)式為

(7)

其中，wk，k=1,2,…,K為對(duì)應(yīng)第k個(gè)目標(biāo)的局部濾波器。

(8)

(9)

(10)

其中，Φ(wk)與Ψ(s)為

(11)

(12)

其中，Pj(wj)可以通過(guò)參考Pj(wg)得到。

為了對(duì)抗環(huán)境中存在的信號(hào)依賴性干擾，確保雷達(dá)的探測(cè)性能，這里對(duì)空域-快時(shí)間濾波器的輸出信干噪比進(jìn)行約束，使濾波器輸出的信干噪比不低于某一門(mén)限，即

υk(wk,s)≥βk,k=1,2,…,K

(13)

式(13)明確給出了針對(duì)雷達(dá)波形與濾波器的約束及其數(shù)學(xué)表達(dá)。

Zr=sH(H{r}?F{r})s

(14)

式中，F(xiàn){r}∈L×L的第(u，v)個(gè)元素可根據(jù)下式計(jì)算：

H{r}∈Nt×Nt可由解析式計(jì)算得到：

根據(jù)以上結(jié)果，所要構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)為

sHΞs

(15)

其中，Ξ∈NtL×NtL為

(16)

其中，ηr>0為第r個(gè)己方電磁輻射設(shè)備的加權(quán)系數(shù)。

加權(quán)系數(shù)的引入可以使雷達(dá)操作者根據(jù)實(shí)際需求靈活地控制在不同空-頻范圍內(nèi)的能量壓制程度。

綜上所述，在信號(hào)能量約束下關(guān)于設(shè)計(jì)相容性波形的數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題可歸納為

(17)

其中，ρ為參考信號(hào)的比例伸縮系數(shù)。

3 優(yōu)化問(wèn)題求解方法

為了有效求解優(yōu)化式(17)中的接收濾波器和發(fā)射波形，文獻(xiàn)[8]提出了基于DAM[9]的算法框架，但該算法要求初始向量必須在可行域內(nèi)。為了降低初始值的選取對(duì)算法性能的影響，并進(jìn)一步提高算法收斂性能，本文提出了基于FPP-SCA的相容性波形設(shè)計(jì)方案。

首先，對(duì)變量進(jìn)行初始化。記初始化波形變量為s{0}，且迭代次數(shù)p=0。

(18)

這是典型的最小方差無(wú)失真響應(yīng)問(wèn)題，因此式(18)可以等效為

(19)

式(19)有閉式解：

(20)

(21)

其中，

b1=1，Π1=INtL

由數(shù)學(xué)優(yōu)化理論可知，當(dāng)存在多個(gè)二次約束時(shí)，不一定可以直接求解出其最優(yōu)解，而且二次約束二次優(yōu)化問(wèn)題的初始可行點(diǎn)對(duì)優(yōu)化結(jié)果會(huì)有較大影響。為了解決非凸優(yōu)化問(wèn)題即式(21)，文獻(xiàn)[8]使用對(duì)偶上升法的算法框架。為了弱化文獻(xiàn)[8]算法中初始點(diǎn)對(duì)算法性能的影響，本文采用可行點(diǎn)追蹤-連續(xù)凸逼近法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行迭代求解。具體操作如下：

令初始波形向量z0=s{p}，假設(shè)當(dāng)前迭代次數(shù)為q，求解以下：

subject toυk≥0,k=0,1,2,…,K

(22)

使用SeDumi或CVX工具箱可直接對(duì)式(20)進(jìn)行求解獲得yq，并使zq+1=yq，q=q+1。直至收斂目標(biāo)函數(shù)收斂，再使s{p+1}=yq。

最后更新p=p+1，直至式(15)的目標(biāo)函數(shù)收斂，即可獲得最優(yōu)波形。

4 算法性能評(píng)估

本節(jié)對(duì)所提算法收斂性能與文獻(xiàn)[8]中基于半正定優(yōu)化(Semi-Definite Programming，SDP)的相容波形優(yōu)化算法、基于DAM的相容波形優(yōu)化算法進(jìn)行比較，并且明確給出雷達(dá)譜圖和信號(hào)依賴干擾抑制效果圖。

表1 目標(biāo)信息

表2 信號(hào)依賴性干擾信息

表3 己方電磁輻射體信息

圖1對(duì)比了不同信干噪比約束下SDP、DAM和FPP-SCA 3種方法的收斂性能。可以看出，在相同信干噪比約束下，本文基于FPP-SCA的方法可以達(dá)到更低的收斂值，這是由于FPP-SCA削弱了選取初始值對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響；當(dāng)信干噪比約束門(mén)限分別為8 dB和12 dB時(shí)，本文算法的收斂值較SDP和DAM分別低8.6 dB和3 dB；當(dāng)信干噪比約束門(mén)限為8 dB時(shí)，三種方法的收斂值遠(yuǎn)低于信干噪比約束為12 dB時(shí)的收斂值，這是由于較低的信干噪比門(mén)限可以使優(yōu)化變量獲得更多的自由度。

圖1 當(dāng)ε=0.4時(shí)在不同信干噪比約束下SDP、DAM和FPP-SCA收斂性能比較

圖2給出了ε=0.4、δl=12 dB時(shí)MIMO雷達(dá)的能量譜。可以清楚看出本文算法使雷達(dá)譜在己方電磁輻射體的信號(hào)譜分布區(qū)域內(nèi)形成了能量凹陷，減小了電磁輻射體對(duì)雷達(dá)回波的影響，而且提高了雷達(dá)能量的利用率。

圖2 雷達(dá)能量譜

為了驗(yàn)證本文算法抑制信號(hào)依賴性干擾的有效性，圖3給出了對(duì)目標(biāo)所在位置進(jìn)行濾波時(shí)的效果圖，其中白色矩形位置標(biāo)明了信號(hào)依賴性干擾的分布區(qū)域，黑色圓圈標(biāo)明了3個(gè)目標(biāo)的位置。圖3(a)～(c)分別給出了對(duì)3個(gè)目標(biāo)的濾波情況。以圖3(a)為例，對(duì)目標(biāo)1進(jìn)行濾波時(shí)，在白色矩形區(qū)域內(nèi)的能量被有效抑制，其他目標(biāo)位置處形成能量凹陷，這是由于此時(shí)濾波器將目標(biāo)2和目標(biāo)3視作干擾，對(duì)其能量進(jìn)行了抑制。

圖3 信號(hào)依賴性干擾抑制效果圖

圖4統(tǒng)計(jì)了取不同初始值對(duì)本文方法所獲得收斂值的影響，本文算法得到的最終收斂值幾乎相同，這是由于FPP-SCA可以減弱初始向量的選取對(duì)優(yōu)化性能的影響。

圖4 當(dāng)ε=0.4、δl=12 dB時(shí)取不同初始值的目標(biāo)函數(shù)收斂曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于FPP-SCA的相容性波形優(yōu)化方法。相較于已有的基于SDP和DAM的方法，本文方法可以獲得更低的收斂值，也就是說(shuō)可以更好地抑制雷達(dá)與己方電磁設(shè)備之間的相互影響，可以有力地支持MIMO雷達(dá)在未來(lái)戰(zhàn)場(chǎng)中更好地發(fā)揮其出色的探測(cè)和抗干擾能力。