基于可行點追蹤-連續凸逼近的MIMO雷達相容性波形設計

宋青青，許 菁，陳 偉，王鑫海

(中國船舶集團有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

隨著雷達系統、通信系統等電磁輻射系統的發展，解決雷達與其威力范圍內的己方電磁設備之間的相容性問題正在成為當前熱點。根據雷達的陣元布置形式不同，多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output，MIMO)雷達通常可分為分布式和共址兩類[1]：分布式MIMO雷達的陣元間距較大，因此具有較高的空間分集增益[2]；共址MIMO雷達收發陣元分布相距較近，能夠提供高分辨率空間譜估計能力[3]。與相控陣雷達發射相干信號不同，MIMO雷達的各陣元發射信號相互正交。優化MIMO雷達波形達到干擾抑制的目的是當前的雷達研究熱點之一。為了應對實際戰場需求，MIMO雷達波形不僅要具有抗干擾能力，還需要滿足當前的工程應用要求，包括譜相容性、低峰均比(Peak-to-Average Power Ratio，PAPR)、寬帶和良好的自相關特性等[4-5]。

近年來國內外學者發表了諸多關于共址MIMO雷達波形設計的研究成果：在有限能量約束下，文獻[6]提出了基于拉格朗日乘子法的波形設計方法；文獻[7]針對多信號依賴干擾存在的情況下，以最大化最差信干噪比為準則，使用迭代算法實現了MIMO空時信號編碼與空時濾波器的聯合設計；為實現MIMO雷達的相容性波形與濾波器聯合優化，文獻[8]借助對偶上升法(Dual Ascent Method，DAM)[9]，通過最小化雷達在其他己方電磁設備所工作的空頻區域內的譜能量，實現對相容性波形的優化，相容性波形設計問題可看作一類非信號依賴性干擾抑制問題；文獻[10]使用最優化方法的思想是最大化信干噪比，并給出了波形在低峰值平均功率比和有限能量約束下的閉式解；文獻[11]提出單調誤差約束改進技術(Monotonically Error-bound Improving Technique，MERIT)解決恒模二次優化問題(Unimodular Quadratic Program，UQP)，而且給出了全局最優解與局部最優解；文獻[12]將原UQP轉換為二次優化二次約束規劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming，QCQP)，提出用連續QCQP提煉(Successive QCQP Refinement，SQR)方法解決MIMO雷達波形設計問題；文獻[13]針對連續相位優化與離散相位優化兩種情況提出一種高效的迭代恒模波形求解算法；文獻[14]將文獻[13]中的算法思想與丁克兒爾巴赫(Dinkelbach)算法相結合，求解了二次分式的優化問題；基于隨機化半正定放松技術，文獻[15]提出了兩種序列優化算法(Sequence Optimisation Algorithm，SOA)，但該方法計算復雜度較大。目前雷達波形設計常見指標包括信號能量有限性、相似性、信干噪比需求和相容性，但同時考慮這4方面因素的成果較少。

為了減弱MIMO雷達與己方電磁輻射設備之間的相互干擾，本文以最小化己方電磁輻射設備所占據空頻域范圍內的雷達譜能量為準則，提出了基于可行點追蹤-連續凸逼近(Feasible Point Pursuit-Successive Convex Approximation，FPP-SCA)[16]的雷達波形與空域-快時間域濾波器聯合優化方法。相對于已有算法，本文算法不僅提高了波形相容性，而且實現了對信號依賴性干擾的有效抑制。

1 信號模型

假設雷達模型架構共址MIMO，接收陣列與發射陣列均為線陣，且分別有Nt與Nr個陣元，陣元間距為所發射射頻信號的半波長。當指向角為θ時，發射導引矢量與接收導引矢量分別為

at=[1,ejπsinθ,…,ejπ(Nt-1)sinθ]T

ar=[1,ejπsinθ,…,ejπ(Nr-1)sinθ]T

(1)

令sp∈L為第p個發射天線的發射信號矢量，其中sp(l)，l=1,2,…,L為sp的第l個分量，則空時發射矩陣可以定義為S=[s1,…,sNt]∈L×Nt，其向量化形式表示為s=vec(S)。設在雷達威力范圍內存在K個目標和J個信號依賴性干擾。第k個目標所在距離門為mk，其方位角為θk，且ζk為第k個目標的反射系數，則相應的目標反射回波為

(2)

其中，Dmk∈L′×L表示為

Dmk=[0L×mk,IL,0L×(L′+L-mk)]T

(3)

式中，L′為每個天線在一個脈沖上的采樣點數。

(4)

因此，總的接收信號可表示為

(5)

2 構建優化問題

優化雷達波形與濾波器的目的是為了解決共址MIMO雷達的相容性問題，并抑制信號依賴性干擾。為了確保所構建的數學優化問題符合實際情況，結合雷達實際需求，對雷達波形進行約束，具體包括相似性約束和信干噪比約束。約束條件的具體概念及數學表達式如下：

(1)相似性

為了保證最優波形具有已知波形的某些性質，如帶寬、相關特性等，對所優化波形與參考波形之間進行相似性約束，相應的數學表達式為

‖s-s0‖2≤ε

(6)

其中，s0為一已知的參考波形；ε為相似性系數，用來控制優化波形與參考波形之間的相似程度，ε越小，所優化波形與參考波形相似程度越高。

(2)輸出信干噪比

針對某個目標，信噪比定義為回波中該目標所反射的信號能量與信號依賴性干擾、噪聲和其他目標的能量和的比值，也就是將除該目標外的其他目標也看作為干擾，表達式為

(7)

其中，wk，k=1,2,…,K為對應第k個目標的局部濾波器。

(8)

(9)

(10)

其中，Φ(wk)與Ψ(s)為

(11)

(12)

其中，Pj(wj)可以通過參考Pj(wg)得到。

為了對抗環境中存在的信號依賴性干擾，確保雷達的探測性能，這里對空域-快時間濾波器的輸出信干噪比進行約束，使濾波器輸出的信干噪比不低于某一門限，即

υk(wk,s)≥βk,k=1,2,…,K

(13)

式(13)明確給出了針對雷達波形與濾波器的約束及其數學表達。

Zr=sH(H{r}?F{r})s

(14)

式中，F{r}∈L×L的第(u，v)個元素可根據下式計算：

H{r}∈Nt×Nt可由解析式計算得到：

根據以上結果，所要構造的目標函數為

sHΞs

(15)

其中，Ξ∈NtL×NtL為

(16)

其中，ηr>0為第r個己方電磁輻射設備的加權系數。

加權系數的引入可以使雷達操作者根據實際需求靈活地控制在不同空-頻范圍內的能量壓制程度。

綜上所述，在信號能量約束下關于設計相容性波形的數學優化問題可歸納為

(17)

其中，ρ為參考信號的比例伸縮系數。

3 優化問題求解方法

為了有效求解優化式(17)中的接收濾波器和發射波形，文獻[8]提出了基于DAM[9]的算法框架，但該算法要求初始向量必須在可行域內。為了降低初始值的選取對算法性能的影響，并進一步提高算法收斂性能，本文提出了基于FPP-SCA的相容性波形設計方案。

首先，對變量進行初始化。記初始化波形變量為s{0}，且迭代次數p=0。

(18)

這是典型的最小方差無失真響應問題，因此式(18)可以等效為

(19)

式(19)有閉式解：

(20)

(21)

其中，

b1=1，Π1=INtL

由數學優化理論可知，當存在多個二次約束時，不一定可以直接求解出其最優解，而且二次約束二次優化問題的初始可行點對優化結果會有較大影響。為了解決非凸優化問題即式(21)，文獻[8]使用對偶上升法的算法框架。為了弱化文獻[8]算法中初始點對算法性能的影響，本文采用可行點追蹤-連續凸逼近法對該問題進行迭代求解。具體操作如下：

令初始波形向量z0=s{p}，假設當前迭代次數為q，求解以下：

subject toυk≥0,k=0,1,2,…,K

(22)

使用SeDumi或CVX工具箱可直接對式(20)進行求解獲得yq，并使zq+1=yq，q=q+1。直至收斂目標函數收斂，再使s{p+1}=yq。

最后更新p=p+1，直至式(15)的目標函數收斂，即可獲得最優波形。

4 算法性能評估

本節對所提算法收斂性能與文獻[8]中基于半正定優化(Semi-Definite Programming，SDP)的相容波形優化算法、基于DAM的相容波形優化算法進行比較，并且明確給出雷達譜圖和信號依賴干擾抑制效果圖。

表1 目標信息

表2 信號依賴性干擾信息

表3 己方電磁輻射體信息

圖1對比了不同信干噪比約束下SDP、DAM和FPP-SCA 3種方法的收斂性能。可以看出，在相同信干噪比約束下，本文基于FPP-SCA的方法可以達到更低的收斂值，這是由于FPP-SCA削弱了選取初始值對優化結果的影響；當信干噪比約束門限分別為8 dB和12 dB時，本文算法的收斂值較SDP和DAM分別低8.6 dB和3 dB；當信干噪比約束門限為8 dB時，三種方法的收斂值遠低于信干噪比約束為12 dB時的收斂值，這是由于較低的信干噪比門限可以使優化變量獲得更多的自由度。

圖1 當ε=0.4時在不同信干噪比約束下SDP、DAM和FPP-SCA收斂性能比較

圖2給出了ε=0.4、δl=12 dB時MIMO雷達的能量譜。可以清楚看出本文算法使雷達譜在己方電磁輻射體的信號譜分布區域內形成了能量凹陷，減小了電磁輻射體對雷達回波的影響，而且提高了雷達能量的利用率。

圖2 雷達能量譜

為了驗證本文算法抑制信號依賴性干擾的有效性，圖3給出了對目標所在位置進行濾波時的效果圖，其中白色矩形位置標明了信號依賴性干擾的分布區域，黑色圓圈標明了3個目標的位置。圖3(a)～(c)分別給出了對3個目標的濾波情況。以圖3(a)為例，對目標1進行濾波時，在白色矩形區域內的能量被有效抑制，其他目標位置處形成能量凹陷，這是由于此時濾波器將目標2和目標3視作干擾，對其能量進行了抑制。

圖3 信號依賴性干擾抑制效果圖

圖4統計了取不同初始值對本文方法所獲得收斂值的影響，本文算法得到的最終收斂值幾乎相同，這是由于FPP-SCA可以減弱初始向量的選取對優化性能的影響。

圖4 當ε=0.4、δl=12 dB時取不同初始值的目標函數收斂曲線

5 結束語

本文提出了基于FPP-SCA的相容性波形優化方法。相較于已有的基于SDP和DAM的方法，本文方法可以獲得更低的收斂值，也就是說可以更好地抑制雷達與己方電磁設備之間的相互影響，可以有力地支持MIMO雷達在未來戰場中更好地發揮其出色的探測和抗干擾能力。