電偶極子與單擺

景雨薇，吳普訓

(湖南師范大學 物理與電子科學學院，湖南 長沙 410081)

偶極子是電磁學基本模型之一[1-3]，是理解電介質極化的基礎；在固體物理、天體物理、流體力學等廣泛領域有重要應用[4,5].一般教材要么給出電勢再做梯度計算，要么通過矢量疊加給出場強，推導比較數學化，學生難以對場強特點和物理圖像獲得直觀理解.特別是所謂不依賴坐標的偶極子場強形式看起來頗為復雜，難以理解.那么，偶極子場強不同形式間有何聯系？如何直觀理解其物理圖像？一般教材很少深入闡述.

本文用熟知的外場中偶極子勢能公式，一步給出偶極子電勢；然后，通過類比力學單擺給出偶極子場強的兩種不同形式，清楚說明每個分量的物理意義，特別是所謂不依賴坐標的場強形式.最后，我們還討論了該力電類比方法的特點，并給出應用實例.

1 偶極子電勢：兩種推導方法

如圖1所示，偶極子由彼此靠近、間距為l的等量正負點電荷±q構成.以電荷連線中點為原點建立坐標系，場點P的電勢[1]

圖1 偶極子與單擺的類比示意圖

(1)

(2)

現在我們給出一種更簡捷的推導方法.按定義，V是單位電荷在偶極電場中的勢能，即偶極子與單位電荷的相互作用能.既然是相互作用，式(2)也是偶極子在單位點電荷電場中的勢能！外場中偶極子的勢能是[2]

U=-p·E外

(3)

2 偶極子場強與單擺受力

對電勢取梯度，即得場強

(4)

V=λz

(5)

對固定的r，豎直方向的電場是

(6)

(E,V,λ)?(F,U,mg)

(7)

可以把偶極子場強問題轉化為熟知的單擺受力分析.注意，固定徑向距離r時，λ可以視為常數，但是r的豎直投影z依然依賴角度變化.這跟擺長固定的單擺一樣，即擺長的豎直投影z隨擺的位置(擺角)而變化.上述映射僅在此特定情況下成立，即固定r的偶極子靜電勢能和固定擺長的單擺重力勢能都跟z成線性關系.

既然勢能形式相同，作為勢函數梯度的力場形式自然也相同.例如，單擺切向力和徑向力(向心力)分別是[3,6]：

Fα=mgsinα

(8)

(9)

(10)

(11)

與矢量疊加得到的熟知結果[2,3]完全一致.

從動力學角度分析，還可以更清楚看到上述映射的物理意義.考慮一個質量為m的單位正電荷從偶極子勢能零點釋放，初速度為零，那么該電荷運動是什么特點呢？根據力電類比，易猜測其運動類似單擺，即軌跡為半圓的周期運動，電荷往返于左右電勢能零點[7]，中間勢能最低點處速度最大(如圖1).根據能量守恒定律，電勢能差給出動能，從而推出向心力,該向心力恰對應偶極子徑向場強，即

(12)

可見，映射式(8)不僅來自勢能形式一致，而且來自動力學過程共同遵守的能量守恒定律,即靜電或重力勢能與動能相互轉化.當然，無論電荷還是單擺，僅在勢能最低點附近才遵從簡諧振動，運動幅度增大時則為非線性運動[3].

3 偶極子場強：不依賴坐標的形式

利用力電類比方法，可以立即寫出所謂不依賴坐標的偶極子電場強度，并且對各個分量能夠獲得直觀的物理圖像，因此初學者容易獲得更深刻的印象.

(13)

這樣很容易理解各分量的物理圖像，特別是為什么第一項能寫為向心分量，而第二項的方向始終固定不變.

這種不依賴坐標的場強形式特別有用，例如，結合式(3)和(13)即可以得到兩個偶極子之間的相互作用能[8]

Udd=-p2·Ep=

(14)

這個結果用途很廣，例如可以給出如水分子等極性分子之間的長程相互作用等[1,2].

4 討論和總結

從計算角度看，教材中的傳統方法，即要么給出電勢然后取梯度運算，要么利用電場矢量疊加，不一定比力電類比方法更難.但是相比純數學計算，力電類比法有獨特的優點：首先，把力學和電磁學兩個最基本的模型聯系起來，對從不同角度體會知識點的聯系頗有價值；其次，力電類比可立即給出不依賴坐標形式的電場，清楚看到各分量的物理圖像(類比重力和拉力)；最后，該方法對解決某些問題特別簡捷，例如計算從偶極勢能最低點附近釋放的電荷諧振動頻率或周期，就可以用單擺熟知結果立即給出[3，9].當然，單擺和偶極子映射關系背后是否隱藏著更豐富的物理和更奇妙的應用，值得我們未來開展更多深入研究.

從更廣闊視角看，利用數學方程相似性，把看似相距遙遠的兩個不同物理系統聯系起來，這樣的類比思想在物理中不乏其例：LC電路與諧振子[2]，偶極電場與球附近流體速度場[10],全反射光透射與物質波遂穿[11]，等.正如物理學家費曼說：“物理學有一個最引人注目的吻合，即多種不同情況的方程有完全相同的形式.這意味著學習了一個學科，我們立即擁有大量精確的關于另一門學科的知識.”[2]