利用智能手機磁傳感器研究單擺運動

王錦輝，孫存英，周 紅，王宇興

(上海交通大學 物理與天文學院，上海 200240)

單擺是一個非常經典的物理實驗.小角度(擺角小于5°)擺動可以認為是作簡諧運動[1]，對周期進行測量，可測定當地的重力加速度.此外還可研究大角度單擺和空氣阻尼情況下的運動規律.在新冠病毒疫情期間，眾多學校開設了單擺居家物理實驗.通常是將手機用細線固定起來，用手機中的加速度計測量擺動周期[2]，亦有直接用手機秒表測量單擺擺動周期.如果直接把手機作為單擺，因為手機具有較大的迎風面積，空氣阻尼將會造成較大影響.而利用手機秒表測量一個單擺的擺動周期，手動按停秒表亦會有測量誤差[3].

在本文中采用一塊小的磁性圖釘(釹鐵硼永磁體)作為擺，利用手機中的三軸磁傳感器(電子羅盤)來測量磁感應強度隨時間變化來研究單擺運動.

SebastianStaacks等人利用手機傳感器設計開發了手機物理實驗軟件Phyphox(Physical phone experiments縮寫)[4].主界面如圖1(a)所示.其中Phyphox中磁力計可以通過訪問手機電子羅盤，直接測量磁感應強度.圖1(b)中顯示了Phyphox所采用的坐標系.

圖1 Phyphox智能手機APP

1 原理簡述：

將細線一端懸于一個支點上，另一端固定一個永磁體作為擺，磁體NS極與擺線方向一致.磁體的尺度相對于擺長L來說小得多，可以看成質點，擺線質量不計.則根據受力分析可推導出單擺運動方程為

(1)

(2)

1.1 小角度無阻尼時

(3)

1.2 在大角度無阻尼情況時

(4)

解為[5]

θ=θmcos(ωt)+

(5)

其中

1.3 在小角度有阻尼時

式(2)解為

θ=θme-βtcos (ωt)

(6)

(7)

(8)

式(6)和(8)表明擺球擺動的幅度呈現指數式減小，周期隨阻尼系數增加而增大.

但實際上擺角并不能用磁力計直接測量.將永磁鐵看成一磁偶極子Pm，方向沿擺線方向.磁傳感器位于擺靜止時正下方h處.圖2為磁偶極子磁場模型.磁偶極子在磁傳感器K處的磁感應強度為B，距離為r.

圖2 磁偶極子磁場模型

(9)

則

(10)

(11)

(12)

對于小角度情況，根據式(12)，將式(10)、(11)中角度α、φ均用θ表示，在θ=0附近進行泰勒展開(保留到二階).則

(13)

(14)

顯然，式(13)、(14)給出了手機磁傳感器測出的磁感應強度與擺角的關系.

對于小角度有阻尼情況，可將式(6)代入式(13)和(14)，則

(15)

(16)

2 實驗過程

如圖1(b)所示，將細線拴在強磁圖釘上，保證圖釘磁鐵NS極沿擺長方向.細線固定在釘在墻上的鋼釘上.在手機上打開Phyphox手機APP，利用“斜面”工具判斷手機是否水平放置,用磁力計測量磁感應強度.當磁性圖釘沿x方向擺動時，平移手機位置，使得y軸磁感應強度接近0，z軸磁感應強度最大時，手機磁傳感器位于單擺平衡位置的正下方.當圖釘擺動時，可明顯觀察到磁場周期性變化.整個實驗在無風的環境中進行，并盡量避免單擺作圓錐擺動.

3 實驗結果與分析

3.1 重力加速度測量

圖3顯示在小角度無阻尼情況下，Bz隨時間變化.此時L=121.20 cm.T=11.01*2/10=2.202 s，根據式(3)可計算g=9.868 m/s2，與標準值9.794 m/s2，相比相對誤差為0.8%.

圖3 單擺Bz隨時間變化

3.2 磁感應強度波形隨時間變化關系

圖4(a)為最大擺角分別為1°、3°、5°、10°和15°情況下Bx測量值隨時間變化圖.從圖中可以看出當最大擺角超過3°，測量出的Bx隨時間變化明顯偏離余弦函數，這是因為隨最大擺角增大，式(10)所要求的小角近似不再滿足，

圖4 不同擺角下Bx隨時間變化關系

此時需要考慮大角度單擺運動.由此可見利用磁傳感器很容易根據波形是否接近余弦函數來判斷單擺是否作簡諧運動.

根據(12)式，將(10)、(11)式中角度α、φ均用θ表示，且θ用(5)式表示.略去θm5次以上高次項，其中ω略去θm4次以上高次項，并代入式(10)，則可用matlab作出不同擺角的Bx隨時間的變化關系.如圖4(b)所示，理論計算值所得到的各種波形與實驗測量值基本一致，只是對應的角度偏大，這可能是由于計算時略去高次項而導致的.

圖5為初始擺角為15°的單擺經過t0時間后3 s內的波形.隨著時間增加，由于空氣阻尼影響，單擺擺動角度越來越小，Bx隨時間變化的波形也逐漸如圖4(a)變化.200 s以后波形接近正弦波形.此結果亦表明可以根據波形的變化定性判斷擺角的大小.

圖5 大角度單擺經過t0時間后3 s內的波形

3.3 阻尼運動

對最大擺角為1°的Bx在較長時間內變化圖見圖6，可以看出幅度隨時間增加而減小.圖中粗黑線為用公式(15)中幅度隨時間變化關系對圖6中極值點進行擬合，對上方和下方幅度極值擬合得到的β分別為1.266×10-2/s和8.81×10-3/s.Bz在較長時間內變化圖見圖7，擬合得到的β為1.755×10-2/s.按照公式(15)和(16)，擬合得到的β值應一致.實驗中之所以產生上述差異，可能是由于磁傳感器并沒有理想地位于單擺平衡位置下方.另一方面磁性圖釘并非一個球體，在來回擺動時，迎風面積也可能會有一點變化.盡管如此，從圖6和圖7中得到的阻尼系數數量級基本相同.

圖6 Bx隨時間變化關系

4 結論

綜上所述，利用手機磁傳感器研究磁性單擺運動，可以很大程度上減小空氣阻尼的影響，較為精確地測量重力加速度.只有最大擺角在1°以內，而不是通常認為的最大擺角5°以內[1]，測量的磁感應強度隨時間變化滿足正弦規律，也就是磁感應強度正比于擺角θ.最大擺角超過1°，磁感應強度與時間變化關系可以用大角度單擺來解釋.利用磁偶極子模型可以分析磁性單擺磁感應強度隨時間變化關系，擬合結果波形與實驗測量值一致.此結果表明利用磁傳感器研究單擺運動規律時，不能想當然認為磁感應強度隨時間變化關系正比于擺角隨時間變化關系.這一結論也可推廣到利用其他傳感器如光探測器研究單擺運動規律上[6,7].另一方面也表明手機磁傳感器提供了一種新的方法，可以更為精確和清晰地判別單擺是否可以看作簡諧振動.