“電動力學”中的矢量及矢量微分運算淺析

胡響明

(華中師范大學 物理科學與技術學院，湖北 武漢 430079)

電磁場強度是在空間具有分布的矢量場，產生電磁場的電荷電流也是在空間具有分布或者運動的場源.顯然，為了描述電磁場與電荷電流之間的相互作用，通常我們不得不使用矢量張量及其矢量微分運算[1-6].首先，矢量張量是描述電磁場必不可少的數學工具，要讓初學者自覺自愿理解和接受并非易事.盡管物理規律確實并不依賴坐標系，但是在定量研究物理規律時又不得不利用物理量在一定坐標系中的分量，這是一對矛盾.正是為了解決這一對矛盾，人們引入了矢量張量的概念.解決矛盾的辦法，就是在某一坐標系中給出矢量張量分量的同時，還要規定它隨坐標系變換而變換的規律[7].顯然，矢量張量的分量總是依賴坐標系的.不過，只要有了矢量張量在任意一個坐標系中的分量，就可根據變換規律獲得任何其它坐標系的客觀物理量.平常所說“客觀物理規律不依賴坐標系”的含義，并不是指一個物理量在不同坐標系中都取一樣的值，而是在很多情形都會取不同的值(標量除外)，只是在物理量取不同值的同時仍然保持相同的規律.然而，只要知道了這個物理量在某一坐標系中的取值，由坐標變換關系就確定了它在任何其它坐標系中的取值.由此可見，坐標系及其變換關系對矢量張量的定義本身是多么重要.

在我們可能還沒有使初學者足夠充分理解這種變換規律的必要性和緊迫性時，這里不妨舉個例子，或許會引起初學者的好奇心，初學者可能會有一定的認識.在一個慣性參考系中一個靜止點電荷只有標勢和電場強度(φ≠0,E≠0)，沒有矢勢和磁感應強度(A=0,B=0).當我們轉換到另一個慣性參考系時，電荷是勻速運動的，有電流形成，電流就會產生磁場，此時我們既有電場也有磁場(A≠0,B≠0).同一個點電荷，僅僅因為慣性參考系不同，對磁場的描述似乎截然相反，哪個是正確的呢? 顯然兩者都是正確的，只是因為參考系不同而不同.原來，標勢和矢勢分別是電磁場四維矢量(φ/c,A)的分量，其中真空中光速c是為統一量綱所用.相應地，電場強度和磁感應強度的各分量是電磁場四維二階張量的分量.作為矢量張量的分量，必然會隨坐標系變換而變換.在某個慣性系中為零的分量在另一慣性系中很可能不為零[8].由此可見，使初學者充分理解和接受使用矢量張量的必要性和緊迫性并盡早予以加強，這本身就是“電動力學”教學中一項非常重要的基礎內容.

也許有一個看似有理的認識，物理規律不必定依賴于數學公式也能表述.不少初學者可能覺得，只需要理解物理規律，不需要數學也能把“電動力學”學好.畢竟，每個初學者或多或少都有一定的數學基礎，若要明顯提升數學基礎，并非一日之功.這個認識可能會使不少初學者低估或者忽視使用矢量張量的必要性和緊迫性.于是不少初學者可能沒有提前或者及時為本課程做好數學基礎的充分準備.也許還有一個看似有理的邏輯，數學可以在需要之時再學，不少初學者覺得在“電動力學”學習進程中有時間再學.然而，與之前接觸的普通物理“電磁學”課程不同的是，隨著課程的深入，初學者會感受到“電動力學”自始至終無處不用矢量及其矢量微分運算.不少初學者會感到越來越難適應，甚至在中途就難以跟上既定的學習進度.據本人多年教學經歷了解到，當前國內本科階段“電動力學”初學者受此限制的人不在少數.正因為這樣，本文以此為題，與相關教師交流[9,10]，供初學者參考.

1 電磁作用基本方程

電磁作用基本方程是一組矢量微分方程.矢量張量及其矢量微分運算隨坐標系變換而變換是描述電荷與電磁場局域相互作用無法回避的問題，這在相對論電動力學中將得到充分體現.我們曾經學習過的牛頓經典力學可用一個基本方程就能描述物體運動狀態隨時間的演化.這個方程可表述為: 物體動量矢量對時間的變化率等于物體所受的作用力矢量.現在我們要學的“電動力學”基本方程是一組矢量微分方程—麥克斯韋方程組，它包括四個相互耦合的矢量微分方程[1-6]：

(1)

其中E為電場強度，B為磁感應強度，ρ為電荷密度，J為電流密度，ε0是真空電容率，μ0是真空磁導率.這組方程是經麥克斯韋總結實驗定律并提出位移電流假設而建立起來的.與牛頓方程相比，麥克斯韋方程組在數量和形式上復雜許多.初學者必定會問，為什么基本方程就如此復雜? 如何求解? 方程及其解描述的物理本質是什么? 復雜之處體現在兩個方面.一是研究對象包括兩個矢量場，一個是電場E，一個是磁場B，它們相互耦合；二是電磁場與電荷電流的作用不只是時間演化，同時表現為空間局域作用(散度·E,·B和旋度×E,×B)，時間微分項對旋度作貢獻.事實上，最初的麥克斯韋方程組是用分量表達的，方程形式還要復雜很多.相對而言，現在的矢量形式已經是非常簡潔明晰了.為了體現局域作用，作為矢量微分運算的散度和旋度就是必不可少的.然而，作為大學生，這還是第一次在物理專業基礎課程中接觸到如此復雜的矢量微分方程組.一個自然的事情就是，不少初學者可能由此感受到矢量及其矢量微分運算帶來的巨大壓力.教學經驗告訴我們，通常初學者在學時有限的情況下面臨的困難或者困惑，并不必定只是矢量張量本身，更可能是對使用矢量張量的必要性和緊迫性的心理接受程度.只有自愿或者自主接受矢量張量及其微分運算不可避免這一事實，初學者才會及時充分利用課余時間盡早加強矢量張量及其矢量微分運算的基礎.

建立微分方程組的必要性本質上在于要研究電磁場與電荷電流之間的相互作用. 以靜電問題為例來說明.設電荷分布于區域V′內x′點的電荷密度為ρ(x′),則空間x點的電場強度E(x)由

(2)

給出, 其中dV′為x′處的體積元,R=|x-x′|是電荷源點到電場場點之間的距離. 初學者一般已經熟悉上述公式和思想. 只要空間中所有電荷分布都給定, 無論這個分布多么復雜, 那么原則上電場E的分布就已經確定了. 但是, 問題的轉折點就在于: 電荷分布并不能事先完全給定. 只要有部分電荷沒有給定, 我們就無法從方程(2)直接計算電場. 舉一個簡單而又最具代表性的例子, 在一個導體球附近某處放置一個電荷, 導體表面上就會因為附近點電荷的存在而產生感應電荷分布,感應電荷分布并不能事先給定, 它依賴于所放置點電荷的大小和遠近. 既然導體表面上的電荷分布是未知函數, 那么無法簡單地從方程(2)計算出空間中的電場. 在上述例子中, 實際上包括了如下物理過程. 1)點電荷激發了電場, 電場作用到導體自由電子上, 引起他們運動, 使導體上的電荷重新分布. 2)點電荷和導體上感應電荷共同給出總電場, 即點電荷和導體上感應電荷激發的電場疊加在一起. 3)導體表面上的感應電荷分布密度, 由上述總電場決定. 這3個方面表明, 電荷分布和電場分布是互相制約的, 一方面感應電荷的出現是由電場引起的, 另一方面電場又包括感應電荷的貢獻. 此時方程(2)雖然仍然能夠描述電荷分布和電場強度之間的關系, 但是兩邊都是未知的, 只是一個形式上的等式關系而已. 顯然方程(2)并不足以解決電荷分布未事先完全確定的靜電相互作用問題. 因此我們要建立描述電荷與電場相互作用普遍規律的微分方程, 利用邊值問題予以解決. 在目前這個階段認識這個問題, 對初學者或許是相當重要的起點.

2 電磁勢矢量

電磁勢矢量是描述電磁作用不可替代的重要物理量.究其原因，有2方面.

1) 電磁勢描述電磁場給我們帶來實質上的方便[1-6].電磁勢矢量是通過矢量微分從兩個麥克斯韋方程定義的.因為·B=0，可利用旋度定義矢勢A:

B=×A

(3)

(4)

將這兩個定義代入到電場散度和磁場旋度方程并考慮洛倫茨規范[6]:c2·A+?φ/?t=0(相對論協變性原理的要求，標勢φ和矢勢A并不相互獨立,c2=1/μ0ε0)，得到電磁勢服從的達朗貝爾方程:

(5)

經過冗長但是直接的過程求得其解為[1-6]

(6)

其中t時刻x處的電磁場是較早時刻t′=t-R/c從源點x′處輻射傳播距離R=|x-x′|到達的.從表達式(6)看出, 電磁勢依賴于時空點(x′,t′)的電荷密度ρ(x′,t′)和電流密度J(x′,t′).對于恒定情形電磁勢則不依賴于時間, 經過(3)和(4)的微分運算后電場強度和磁感應強度呈現R-2依賴, 局限于電荷電流附近, 其中電場如方程(1)所示. 然而, 對于依賴時間的電磁輻射情形, 電磁場強度(E,B)還以t′=t-R/c時刻的電荷電流密度依賴于R. 對時空微分后, 電磁場會呈現R-1依賴的輻射場，傳播到無窮遠處.

2) 電磁勢本身具有物理實在性，在近代物理領域具有重要地位[1-6].帶電量q的粒子與電磁場相互作用的能量和動量分別為qφ和qA.磁場改變電子衍射條紋的效應表明，局域化磁場引起電子衍射條紋的移動，不能由局域磁感應強度B描述其相位，而只能由磁場矢勢A描述.在涉及質點高速運動時，在某參考系中，質點在時間t位于x處，時空不再能分離，而是統一在一起，成為一個整體矢量(ct,x).既然時空是統一的整體矢量，在坐標系變換時就會發生相互的轉化，即矢量分量之間發生相互轉化, 包括時間和空間之間的轉化.時空的統一，決定了標勢和矢勢統一為四維電磁勢矢量(φ/c,A).標勢和矢勢就會在坐標系變化時發生相互轉化.帶電粒子在外加電磁場中的能量動量四維矢量為Pα=q(φ/c,A), 依賴于電磁勢.由此清楚可見電磁勢的物理實在意義.

3 四維矢量的構建與微分運算

四維矢量的構建與矢量微分運算是相對論電動力學的重要內容.根據相對論中的光速不變原理，將時間t和空間矢量x統一到間隔概念之中.類似于三維空間的矢量模長，推廣到時間與空間統一的四維空間來定義模長，即間隔

s2=(ct)2-x2

(7)

其中時間ct以零時刻為起點, 空間x以坐標原點(0,0,0)為起點, 空間部分對間隔的貢獻為x2=x2+y2+z2.間隔可能取正值, 可能取負值, 也可能為零. 從此時間t和空間x=(x,y,z)不再相互獨立，它們隨坐標變換發生相互之間的變換, 這對初學者而言是一個全新的時空觀念.以下三個方面表明四維矢量及其矢量微分運算是相對論電動力學的重要內容.

1) 平面矢量推廣到非歸一時空平面，獲得洛倫茲變換.設平面標系∑系(x,y)與∑′系(x′,y′)重合，然后∑′系繞坐標原點相對于∑系旋轉θ角度，熟知的坐標變換關系為[7]

x′=xcosθ+ysinθ，

y′=-xsinθ+ycosθ

(8)

這個坐標系的基矢量具有正交歸一性.我們通過類比即相對簡單地給出這里的相對論時空變換.現在我們需要認識時空統一后不同慣性系之間的關系，它與時空分離的空間坐標系平移直觀圖像并不相同.對于時空分離情形，時間視為分離的獨立參量，不在坐標系中體現出來，人們可直觀見到空間坐標系的平移.然而，對于時空統一之后的慣性系圖像，情況就很不相同，我們需要對此有明確的認識.設一空間坐標系∑(Oxyz，坐標原點為O)，另有一空間坐標系∑′(O′x′y′z′，坐標原點為O′).初始時刻兩個空間坐標系∑和∑′完全重合，之后∑′系以速度v沿∑系的空間坐標軸x正方向做勻速直線運動，所有空間坐標軸保持平行.因為運動只沿x軸方向，另外兩個空間分量y和z則保持不變，此時我們只需要考慮空間分量x與時間分量ct構成二維平面坐標系, 討論它們隨慣性系變化而變化的規律.

將時間和空間分量統一后，∑系和∑′系都變成包括一個時間軸和一個空間軸的二維平面坐標系，如圖1所示.

圖1 洛倫茲變換的幾何圖

對于現在的時空坐標系∑和∑′而言,O點既是空間的原點也是時間的原點，同一事件P在∑系表示為(ix,ct)，在∑′系表示為(ix′,ct′)，其中虛數單位i就是源于間隔中空間項為負.空間坐標系∑′中的O′點只代表空間坐標原點, 但不代表時間原點. 以O′點運動前后作為兩個事件來說明兩個時空慣性系之間的變換關系. 作為第一事件, 初始時刻O′點與時空原點O重合, 在兩個慣性系的時空坐標都為(0,0).作為第二事件,O′點運動后, 在∑′系自身看來，在空間上并沒有相對運動，位移保持為零，x′O′=0, 只是時間上經歷了ct′O′(固有時), 時空坐標為(0,ct′O′).注意，O′點只是代表坐標系∑′的空間原點，并不代表時間原點，O′點運動經歷的時間由ct′軸上的取值ct′O′來度量.然而，在∑系看來，O′點不僅經歷了時間AO′=ctO′，而且發生了位移OA=vtO′，時空坐標變為(ivtO′,ctO′).根據O′點運動前后作為兩個事件在∑和∑′系中的間隔保持不變, 我們可以發現圖中三個時空線段OA、AO′和OO′構成直角三角形，滿足勾股定理(ct′O′)2=(ctO′)2+(ivtO′)2.從幾何關系清楚地看出，時空慣性系∑相對于∑′旋轉了一個角度iζ，tan(iζ)=itanhζ=iv/c，其中虛數角度源于空間分量x的虛數單位.相對而言，∑′系相對于∑系旋轉了-iζ.以上分析表明，時間ct與空間分量x統一后的時空平面坐標系變換在形式上與通常的空間平面坐標系變換完全相同，都是繞原點O“旋轉”，只是原來的坐標分量x變為ix，y變為ct，∑′系相對于∑系旋轉的角度θ變為-iζ.對任一事件P，作對應替換(x,y)→(ix,ct)，(x′,y′)→(ix′,ct′)，θ→-iζ, 根據坐標變換關系(8)，我們立即獲得從∑到∑′系的洛倫茲變換[6]

ct′=ctcoshζ-xsinhζ,

x′=xcoshζ-ctsinhζ

(9)

由于虛數單位的出現，式(8)中的三角函數現在變成了雙曲函數coshζ=γ,sinhζ=γβ，其中參數(β,γ)為

(10)

洛倫茲變換公式(9)正是光速不變原理的結果.上述變換可以做兩個推廣. 一是∑′系相對于∑系沿任一方向發生相對運動(保持坐標軸平行), 三個空間坐標分量x=(x,y,z)都可參與變換. 二是∑′系相對于∑系以隨時間變化速度v=dx(t)/dt發生相對運動, 此時時空變換變為微分形式.

xα=(ct,x)或者xα=(ct,-x)

(11)

上標代表逆變分量, 下標代表協變分量. 不過這里的逆變矢量和協變矢量只是空間部分相差一個負號, 它們之間通過一個度規張量gαβ=eα·eβ或gαβ=eα·eβ聯系,xα=gαβxβ,xα=gαβxβ, 度規張量的非零元素為g00=g00=1,gll=gll=-1(l=1,2,3). 以四維時空矢量為基礎可以構建一系列四維矢量. 例如, 構建的四維速度矢量Uα=dxα/dτ=γ(c,v)(其中,τ為固有時,v可以沿任意方向并可隨時間變化)用來定義電流密度四維矢量Jα=ρ0Uα(ρ0為靜止電荷密度)和能量動量四維矢量Pα=m0Uα(m0為靜止質量). 再如,微分算符?α≡?/?xα=(?/?x0,-)及拉普拉斯算符□=?α?α用來表達物理量的時間演化和空間局域化定律.相對論協變性原理可以表示為

如果

Aα=Bα那么A′α=B′α

(12)

光速不變原理可以表示為

(13)

3) 構建四維電磁勢矢量和電磁場張量，利用矢量微分表述并求解麥克斯韋方程.四維時空中的電磁勢定義為[6]

Aα=(φ/c,A)

(14)

它可用來構建二階電磁場張量Fαβ=?αAβ-?βAα, 即

(15)

可見電場強度和磁感應強度只是電磁場張量的分量.按照矢量張量的洛倫茲變換，我們就容易回答引言提出的問題.顯然，作為矢量的電磁勢Aα與由電磁場強度構成的二階張量Fαβ相比，求解前者有源微分方程的復雜程度要小很多.事實上，麥克斯韋方程的協變形式與電磁勢的達朗貝爾方程是等價的.加上對偶張量Gαβ=∈αβλτFλτ/2(∈αβλτ是四階完全反對稱逆變張量)，可將麥克斯韋方程寫成協變形式[6]:

?αFαβ=μ0Jβ, ?αGαβ=0

(16)

其中第二個為齊次方程，本質上決定電磁勢的引入，第一個為非齊次方程，代表電荷電流對電磁勢的貢獻.非齊次方程在洛倫茨規范[6](?βAβ=0)下實質上就是四維電磁勢矢量的達朗貝爾方程:

□Aα=μ0Jα

(17)

(18)

(19)

其中β=v(t′)/c是電荷在t″時刻的運動速度與真空中光速之比,eR是電荷源點x′到場點x相對位置矢量R=x-x′的單位矢量.可見求得電磁勢并不復雜.然而, 對電磁勢矢量的時空統一微分運算就不是那么簡單，甚至會比較復雜，好在運算仍然是直接的.可求得電磁場強度為[6]

(20)

4 結論

總之，本文分析了矢量及其矢量微分運算在“電動力學”體系中的特殊基礎地位.既然“電動力學”要同時研究電磁系統的時間演化和空間局域作用，那么這就決定了“電動力學”自始至終需要使用矢量及其矢量微分運算.基本方程形式與方程的求解、恒定場與電荷電流作用、電磁場的傳播與輻射等，各部分都離不開使用矢量及其矢量微分運算，相應的物理規律表達形式和相關數學運算過程相對復雜很多.幸好，電磁勢不僅自身具有不可替代的物理意義，它能夠使得問題的解決得到相對簡化，為電磁規律的描述提供極大方便.初學者熟悉矢量(包括張量)及其矢量微分運算必定會收到事半功倍的效果.教學過程中充分重視矢量及其矢量微分運算的特殊地位，能夠顯著提升“電動力學”的教學效果, 強化物理專業人才的專業基礎.