兩連通氣泡的平衡穩定性

盛天爽,余邱昱

(1. 南京大學 理科實驗班，江蘇 南京 210023；2. 南京大學 工科試驗班，江蘇 南京 210023)

氣泡連通裝置在許多熱學問題中經常出現[1].如圖1所示，在一根三通管的出氣口A和B上涂上肥皂水，當向進氣口吹氣時兩個出氣口處分別會形成氣泡A和B.在不考慮漏氣情況下，初始形成的兩個氣泡的大小會隨著時間的推移而發生改變，在一些特定的情況下，兩氣泡可以維持在一個平衡狀態，但若有外界擾動，兩氣泡可能又會向另外一個平衡狀態轉化.

圖1 氣泡連通裝置示意圖

對氣泡連通裝置中氣泡平衡穩定性的分析往往都是定性的，缺乏定量的計算.已有的少量文獻[2,3]中給出了一些定量計算方法，但計算結果與實驗結果仍有較大差異.本文在對氣泡坐標加以方便定義的基礎上，采用最小能量法準確實現了對氣泡平衡穩定性的定量分析，數值計算的結果與實驗測量的結果之間平均誤差極小.

1 連通氣泡平衡穩定性數學模型

1.1 氣泡連通裝置內部的能量分析

氣泡連通裝置是一種三通管結構，下面從4個方面考慮連通氣泡變化過程中裝置內能量的變化情況.1) 由于氣泡內氣壓等于氣泡外大氣壓和氣泡表面張力附加壓強之和，而附加壓強遠小于大氣壓強，因此可以近似設定連通氣泡變化過程中管內氣體壓強不變.2) 考慮到不漏氣情況下三通管內氣體分子數不變，且外界壓強和溫度變化均可忽略，根據理想氣體狀態方程，此時氣體體積不發生變化，即管內氣體不對外做功.3) 若確保氣體沒有從外界吸熱，則根據熱力學第一定律，氣體的內能不發生變化.4) 氣泡膜有一定的重力勢能，經過推算可以證明其數量級遠小于表面張力能，故氣泡的重力勢能忽略不計.基于以上4點考慮，可以大膽假設氣泡連通裝置中能量的變化僅源自于氣泡變大與縮小時表面張力能的改變，氣體在管內的流動使得能量可以在兩個氣泡之間轉移.因此，根據表面張力能方程，對連通氣泡內的能量分析只需考慮兩個氣泡表面積的變化即可[4].

1.2 連通氣泡平衡穩定性的最小能量法分析

為了便于分析，首先定義‘氣泡坐標’.假設三通管管口半徑為r，取管口下方r處為原點，方向垂直向下，建立x軸坐標系，如圖2所示.將氣泡頂點處的坐標定義為氣泡坐標，并明確氣泡坐標x>0時為大于半球狀態，氣泡坐標-r

圖2 大于半球和小于半球氣泡坐標示意圖

無論氣泡形狀是大于半球還是小于半球，均可由勾股定理得到用hi和r表示的氣泡半徑Ri，

(1)

則根據球冠表面積和體積公式可以很容易推導出氣泡的表面積和體積分別為

(2)

(3)

為了不失一般性，假設左右兩個氣泡初始等大且氣泡坐標為x1，則相應的氣泡半徑和氣泡高度記為R1和h1.當發生擾動后，連通氣泡形態發生變化，記左邊管口的氣泡坐標為x2，相應的氣泡半徑和氣泡高度為R2和h2；右邊管口的氣泡坐標為x3，相應的氣泡半徑和氣泡高度為R3和h3；

規定氣泡坐標為0時氣泡的表面張力能為0.則根據表面張力能公式，連通氣泡的能量E可由下式給出，其中α為表面張力系數.

(4)

同時，由于封閉管內氣體的體積恒定，因此左右兩個氣泡的氣泡坐標滿足式(5)所示的體積約束條件.

(x2+r)[3r2+(x2+r)2]+(x3+r)[3r2+(x3+r)2]=

2(x1+r)[3r2+(x1+r)2]

(5)

顯然，式(5)是關于x2和x3的非線性方程.根據式(1)—(3)，理論上可以用x3表示x2，然后代入能量公式(4)，將能量E表示為參數x3的函數.再根據最小能量法的基本原理，首先計算出能量E的一階導數為零的點，此即為連通氣泡的平衡點.進而再計算出在平衡點處能量E的二階導數，如果E的二階導數大于零，則為穩定的平衡點，如果E的二階導數小于零，則為不穩定的平衡點.需要指出的是，利用拉格朗日乘子法，使用式(5)和(4)構造拉格朗日函數也可以求出該平衡點的坐標.

1.3 滿足氣泡成形的約束條件

氣泡能夠真實存在，則要求連通氣泡必須平衡且穩定.首先，假設氣泡膜的厚度各處均勻，且不考慮蒸發，則氣泡膜厚度隨著氣泡增大而減小，當厚度小于極小值時，氣泡膜就會破裂.其次，三通管左右出氣口的氣泡坐標均不得小于管口坐標，否則氣泡就不再存在.根據這2個約束條件，可以給出氣泡坐標的范圍.

而在實際情況中，由于三通管管口直徑較小，肥皂液足量，當氣泡較小時，第一個約束條件總能夠滿足.因此最終的約束條件可以減少為以下兩個不等式:x2>-r，x3>-r.

2 連通氣泡平衡穩定性的數值計算與實驗

由于計算量大，因此無法通過解析方法進行穩定性分析.本文通過編寫Mathematica程序進行數值計算，繪制出氣泡能量變化曲線圖，進而準確判定連通氣泡的平衡穩定性.相應的實驗表明數值計算結果與實驗結果吻合良好.

2.1 數值計算

選定三通管半徑r=3mm，分別給定以下3種典型狀態的初始氣泡坐標：x1=1.8mm,x1=0mm和x1=-1.8mm.將這3種初始的氣泡坐標分別代入能量方程，繪制系統能量E隨管口氣泡坐標x3的變化曲線，如圖3所示.

從圖3可以看出，當初始氣泡坐標x1=-1.8mm時，氣泡為小于半球狀態，能量曲線在初始點處有極小值E=1.86×10-22J，表明初始情況即為連通氣泡的穩定平衡點.當初始氣泡坐標x1=0mm時，氣泡為等于半球狀態，這時能量曲線在初始點附近處處為0，滿足隨遇平衡條件.當初始氣泡坐標x1=1.8mm時，氣泡為大于半球狀態，此時能量曲線在初始點處有極大值E=1.5×10-21J，表明氣泡此時處于不穩定平衡狀態，稍有微擾就會偏離平衡點. 同時，在該能量曲線極大值點的左右兩側，分別存在一個極小值點.左側為x3=-1.6mm，E=-1.2×10-6J；右側為x3=3.4mm，E=-1.2×10-6J.通過計算可知這兩個極小值點恰好各自對應著一種特殊的穩定平衡形態，即左右兩個氣泡的形狀合起來恰好為一整球.

圖3 3種典型初始狀態氣泡能量變化曲線

以上對3條能量曲線的定量分析結果與文獻[1]的定性分析結果完全一致，表明了使用最小能量法分析氣泡連通裝置平衡穩定性的有效性.

2.2 實驗驗證

利用市售一次性吸管(管口直徑為6mm)和雜貨店中買到的兒童肥皂水(測得室溫下的表面張力系數為0.036N/m)，制成一個簡易的氣泡連通實驗裝置，如圖4所示.先在三通管的兩個下端出氣口涂抹肥皂水，然后從上端進氣口口向管內鼓氣，直至在下端口獲得兩個完整的氣泡，最后用夾子夾住上端口.為了提高實驗準確性，可以用一次性針管將氣泡內殘存的少量肥皂液吸走，也可以用針管向兩氣泡內充氣或吸氣，對氣泡形狀進行微調，以滿足實驗要求.利用該簡易裝置，設置不同的初始氣泡坐標進行多次實驗.實驗中通過對氣泡拍攝照片，測量照片上的像素個數進而換算成長度的方法分別獲得兩個氣泡的氣泡坐標.實驗發現，當兩個初始氣泡小于半球時，氣泡非常容易破裂，而氣泡等于半球的情況也不易達到，因此本實驗僅針對兩個初始氣泡均為大于半球狀態的情況進行擾動測量，最終穩定時的測量結果與數值計算結果對比如表1所示.

圖4 氣泡連通實驗裝置

表1 氣泡連通裝置穩定性分析的測量值與計算值對比

實驗進行了4組，其中x1測左和x1測右分別表示初始時左右兩個氣泡的坐標，通過微調盡量使兩者接近.將兩個初始氣泡坐標分別代入式(3)，計算出兩氣泡體積之和再除以2，得到平均氣泡體積，再利用式(3)解出平均氣泡坐標.數值計算時取平均氣泡坐標為初始氣泡坐標x1.另外，x2測和x3測分別表示系統穩定時測定的左右氣泡坐標，x3計算表示通過數值計算得到的右側氣泡坐標.從表1可以看出，實驗結果與數值計算結果吻合良好，相對誤差優于文獻3給出的比對結果.

此外，在第3組實驗中，還利用Tracker軟件對左右兩個氣泡進行了追蹤拍攝，獲得氣泡坐標x2與x3的8組數據.通過表面張力能公式分別計算出這8種狀態下連通氣泡內的能量，繪制成氣泡能量曲線，與使用最小能量法獲得的數值計算結果相比較，如圖5所示.

圖5可以看出，通過實驗得到的測量值與通過數值計算得到的理論值基本吻合.在氣泡坐標x3小于3mm時，實驗測量值與理論值略微產生偏差，且實驗測量值比理論值偏大.分析認為這是由于當氣泡縮小時，會有少量肥皂液聚集在氣泡頂部，從而導致氣泡形狀發生改變，氣泡不再是完美的球冠，因此造成一定程度的偏差.

圖5 連通氣泡能量曲線的實驗與計算對比

3 總結

1) 對連通氣泡中的能量變化進行分析，判定通常情況下氣泡連通裝置中能量的變化僅源自于氣泡變大與縮小時表面張力能的改變.2) 定義氣泡坐標概念，明確3種典型的氣泡狀態，并且規定等于半球狀態時氣泡的表面張力能為零.3) 通過對氣泡表面張力能的分析，利用最小能量法，計算連通氣泡的穩定平衡點和不穩定平衡點，從而對氣泡連通裝置的平衡穩定性做出定量分析.4) 通過實驗，對不同初始大小的氣泡進行擾動跟蹤，測量得的氣泡最終穩定點與數值計算得到的理論值吻合度較高，實驗與理論分析所獲得的連通氣泡能量變化曲線也基本吻合，從而進一步驗證了使用最小能量法分析氣泡連通裝置平衡穩定性的有效性和準確性.