彈簧擺動力學行為演示儀

何玉吉, 汪金芝，梁卓凡，李青峰

( 寧波工程學院 機器人學院, 浙江 寧波 315211 )

實際情形中的力學系統(tǒng)往往都是非線性的.而在解決問題時，為簡化計算，常將其近似為線性系統(tǒng)，在如彈簧振子、單擺等振動系統(tǒng)中，非線性項的影響可忽略，線性化近似處理后獲取的結(jié)果還是較為理想的.而對于彈簧擺系統(tǒng)，如果沒有依據(jù)地去掉非線性項將引起無法解釋的誤差甚至是本質(zhì)性的偏差和錯誤.對這類非線性系統(tǒng)的研究能有效揭示經(jīng)典力學的復雜和變化的一面[1].

近些年，非線性振動系統(tǒng)的研究獲得許多成果，在電子學以及航空航天等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，其中混沌理論為解決非線性保守系統(tǒng)提供了可能.在以人工智能方向為代表的新工科教育改革的背景下，將非線性振動系統(tǒng)加入大學物理知識體系內(nèi)具有重要的意義[2].而彈簧擺結(jié)構(gòu)簡單，適合在教學中推廣應(yīng)用，筆者運用拉格朗日方程對該典型的非線性系統(tǒng)——彈簧擺系統(tǒng)進行了理論分析，并借鑒了頻閃法的思想，設(shè)計實驗裝置，采用圖像處理技術(shù)開發(fā)了該系統(tǒng)運動軌跡的采集和模擬軟件，將彈簧擺系統(tǒng)混沌行為進行可視化.

1 實驗原理

彈簧擺系統(tǒng)由輕質(zhì)彈簧和小球組成，如圖1所示.彈簧的勁度系數(shù)為k=0.95 N/m，彈簧的原長為l=0.2 m，重物到懸掛點之間的距離為r，與豎直方向夾角為θ，重物質(zhì)量m=0.02 kg且看成質(zhì)點.短時間內(nèi)彈簧擺二維運動的能量損失可忽略不計，因而將系統(tǒng)進行理想化處理，近似為保守系統(tǒng).

圖1 彈簧擺系統(tǒng)示意圖

如圖1建立彈簧擺模型，以懸掛點為坐標原點，沿水平方向為x軸，豎直方向為y軸建立直角坐標系，系統(tǒng)的自由度為2，分別取彈簧原長位置與坐標原點為彈性勢能和重力勢能的零點[3].

廣義坐標下系統(tǒng)任意時刻的動能為

(1)

其勢能為

(2)

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為[4]

(3)

由于該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，則廣義力Qj=0，可解得該系統(tǒng)的運動方程[5]為

(4)

當θ或r固定時，在小角度情況下(sinθ≈θ)，得到式(5)，可將系統(tǒng)運動近似為彈簧振子和單擺運動的組合：

(5)

通過MATLAB和Mathematica對系統(tǒng)進行模擬分析，制出彈簧擺的軌跡圖、相圖及時序如圖2所示[6].從圖2 (a)軌跡圖中可看出，重物在二維平面內(nèi)作非周期運動，但運動軌跡具有高度對稱性.從相圖 圖2(b)、(c)和時序圖 圖2(d)、(e)可得，彈簧擺在徑向和切向作周期運動，與理論分析相一致.

圖2 彈簧擺軌跡圖、相圖和時序圖

2 實驗裝置

彈簧擺演示儀的結(jié)構(gòu)如圖3和圖4所示，上板開槽，彈簧和經(jīng)涂色處理的重物如圖懸掛，裝置后設(shè)置有黑布筒，實驗時拉下黑布保證背景單一，提高圖像識別準確率.裝置左側(cè)設(shè)有釋放裝置，其長度和高度可調(diào)，經(jīng)合理調(diào)整后使用可很大程度上減少第三維度的系統(tǒng)能量損失，減小實驗誤差；右側(cè)為數(shù)顯卡尺.USB攝像頭架放置于裝置的正對面.當將重物拉至釋放裝置凹槽處，靜止釋放后，系統(tǒng)做彈簧擺運動，USB攝像頭實時拍攝的同時，將數(shù)據(jù)傳入電腦的圖像處理軟件進行分析和處理[7].

圖3 實驗裝置實物圖

圖4 裝置示意圖

基于HSV色彩空間下的目標檢測與跟蹤[8]，編寫了針對該實驗的配套圖像處理軟件.系統(tǒng)識別目標為綠色和紅色物體，其中綠色為基準點，固定于彈簧懸掛點處，重物涂成紅色，作為運動點.

具體圖像處理操作為：對檢測目標進行閾值處理計算得到像素值范圍，USB攝像頭以30幀/s讀取圖像，將每張圖片中所有在像素值范圍內(nèi)的像素點轉(zhuǎn)移到掩膜上，并對掩膜上的圖像進行膨脹操作，使之前被消去部分得以部分填充回來，本軟件中的形態(tài)學操作內(nèi)核為矩形.最后獲取處理后矩形的幾何中心，作為目標點坐標并輸出.

為方便觀察實驗結(jié)果，存儲的坐標點數(shù)據(jù)在軟件內(nèi)進行可視化處理，實時追蹤并繪制彈簧擺軌跡圖與時間序列圖(圖7)，軟件原理與界面如圖5和圖6所示.

圖5 軟件原理

圖6 軟件界面

3 實驗內(nèi)容和步驟

1) 旋轉(zhuǎn)調(diào)平螺絲，調(diào)整裝置水平.

2) 調(diào)整釋放裝置位置，保證彈簧擺在二維平面運動.

3) 將攝像頭連接電腦并調(diào)整位置，使頂部定位的綠色方塊和紅色砝碼均在畫面中.

4) 點擊打開攝像頭并點擊“開始跟蹤”.

5) 將重物拉至釋放裝置的位置，無初速度釋放，使其開始做彈簧擺運動.

6) 點擊“開始記錄”對彈簧擺運動情況進行讀取和處理，一段時間后停止記錄.

7) 再點擊“X-T圖”和“Y-T圖”繪制x和y方向時間序列圖.

8) 點擊“打印坐標點”，用MATLAB處理打印出的坐標數(shù)據(jù)并分析其運動.

圖像處理軟件最終繪制的彈簧擺軌跡和時間序列如圖7所示，可以看出，實驗結(jié)果與理論結(jié)果圖2 (a) (d) (e)具有一致性，達到了較好的實驗和演示效果.經(jīng)重復實驗，10～20 s左右彈簧擺系統(tǒng)能量損失可忽略不計，軌跡圖效果較好，具有較好的理論與實驗對比研究價值.

圖7 實驗結(jié)果

5 結(jié)論

本文介紹了非線性保守的彈簧擺系統(tǒng)的原理及演示實驗，該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，實驗操作便捷，獲得的實驗結(jié)果較為理想與直觀，是非線性系統(tǒng)教學的典型例子，涉及的知識點易被學生接受，適合用于本科物理教學.可彌補現(xiàn)有教學中非線性系統(tǒng)只能進行線上模擬仿真的不足，能激發(fā)學生的興趣.