單擺測重力加速度實驗的改進

劉彧奇，譚雨莎，韋先濤，張 權，趙 偉，朱 玲

(1.中國科學技術大學 地球和空間科學學院，安徽 合肥 230026；2.中國科學技術大學 物理學院，安徽 合肥 230026)

單擺實驗是一個非常經典的物理實驗，根據擺的等時性原理制造的機械鐘將人類的計時精度提高了近100倍[1-2]. 在用單擺測量重力加速度實驗中，由于擺長不易準確測得，導致重力加速度的測量精度無法做到很高，一般只能達到1%左右.

本實驗希望通過對實驗方法進行改進，將直接測量單擺擺長改進為測量擺長的改變量，提高長度的測量精度；通過擬合擺長改變量(ΔL)與單擺周期平方(T2)之間的線性關系，獲得重力加速度，并探討改進擺線材料、測量方法、計算方法，使實驗誤差進一步減小，實際的實驗誤差可控制在0.1%以內.

1 實驗部分

1.1 實驗器材

在傳統單擺實驗裝置的基礎上，添加了游標卡尺和光電門，分別測量單擺擺長的改變量和單擺周期.同時考慮到實驗中需要改變擺線的長度、光電門的位置，本文設計了擺長調節裝置和配套的可移動光電門，用于追蹤擺球的移動. 實驗裝置如圖1所示. 擺線通過固定旋鈕后與游標卡尺的游標連接在一起.

圖1 改進后的單擺實驗裝置圖

實驗中發現采用不同材質、直徑的擺線對實驗結果有較大影響，主要是由于擺線的質量不可忽略，并且擺線并非完全無彈性，導致實驗過程中擺線的改變量并不完全等于兩次游標卡尺的讀數之差. 因此本文對不同材質、不同直徑的擺線進行了多次重復測量. 采用的擺線共有5種，如表1所示.

表1 擺線的材料和直徑D

1.2 長度測量

直接測量擺長時由于采用毫米刻度尺，且擺長的起止位置難以精確確定，其測量精度較低. 因此本實驗的測量方案改為用游標卡尺精確測量每次擺長的改變量.

實驗中擺線長度的變化范圍在32 cm～62 cm.確定擺長范圍后，受擺球直徑和光電門尺寸的限制，每次實驗中，使振幅約為2.7 cm，這樣可以保證擺動的最大角度小于5°.

由于擺長固定時，連接處細線的靜摩擦力向上. 在改變擺長時，應使連接處的滑動摩擦力也向上，和靜摩擦力保持同一方向，故采取逐步增大擺長的方式測量.

1.3 時間測量

實驗中用光電門測單擺擺動的時長和周期數，采用的數字計時器是4位數顯.實驗中發現，在不同擺長下測單擺擺動10個周期的時長時，擺長較短測得的時間不足10 s，因而光電門的測量數據可以精確到0.001 s；而擺長較長時測得的時間超過10 s，光電門的測量數據只能精確到0.01 s. 為了保證實驗的較高精度，應使得在擺長較短或較長時光電門的測量數據都可以精確到0.001 s(時長小于10 s)，故單擺周期的選擇受到了一定限制. 進一步考慮到為了減小實驗數據的偶然性，實驗應當多次重復測量，單擺周期數選在4～8個周期內可以滿足上述要求. 通過控制變量，對于每一個擺長分別取測量4、6、8個周期的時長，記為4T、6T和8T.擺動周期的平均值(nT)/n(n=4, 6, 8)如表2所示，其中L為游標卡尺的讀數. 綜合三組數據，發現周期測量的偏差都小于0.1%，在后續的實驗中都統一測量6個周期的時長.

表2 在同一擺長處取不同周期數時的平均擺動周期

2 計算方法

從單擺測重力加速度的實驗原理出發，擺球的運動方程為

(1)

得到單擺周期為[3-5]

(2)

(3)

在本實驗中，通過多次改變擺長測量重力加速度g. 設單擺初始擺長為L0，擺長改變量為ΔL

(4)

(5)

推出

(6)

多次改變ΔL的大小，測出對應的T. 如對ΔL(或L0+ΔL)和T2做直線擬合可得到斜率k，則可得重力加速度g為

g=4π2k

(7)

3 結果與討論

3.1 兩種改變擺長方式的對比分析

用同一種魚線分別采取擺長逐漸增大和逐漸減小的方式，對重力加速度進行測量，每個擺長下重復測量周期5次，測量得到的實驗數據(游標卡尺讀數L及6個擺動周期的時長6T)分別記錄在表3和表4中. 通過對數據擬合處理，可以得到重力加速度g.

表3 擺長逐漸增大的實驗數據

表4 擺長逐漸減小的實驗數據

從魚線測量的數據可以看出，擺長逐漸增大比擺長逐漸減小時測得的重力加速度值更加接近公認值，誤差更小. 此實驗結果驗證了先前在長度測量部分的設想，即在改變擺長時應使連接處的滑動摩擦力也向上，和擺長不變時的靜摩擦力保持同一方向. 因而采取擺長逐漸增大的方式測量.

3.2 不同直徑、不同材質的擺線的比較

實驗中選取了不同直徑不同材質的線共5種，分別將其作為擺線，進行多次測量，每一種線測量5次，得到重力加速度g值，比較擺線的質量和彈性對實驗結果的影響.

這5種線分別為：直徑0.20 mm 魚線、直徑0.25 mm魚線、直徑0.30 mm魚線、直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.30 mm尼龍線.

以直徑0.30 mm尼龍線的一組實驗數據為例，表5是實驗中測得的原始數據. 對ΔL和T2線性擬合，所得結果如圖2所示，得到斜率k=249.8 mm/s2，置信概率為0.95時的誤差uk=0.5 mm/s2，則重力加速度g=9.862 m/s2，測量誤差ug=0.020 m/s2，相對誤差ug/g=0.0020. 查得合肥地區的重力加速度為9.7947 m/s2，因此可算得測量結果與公認值之間的相對偏差ur為6.9×10-3. 表6列出了直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實驗測量結果、測量的相對誤差以及測量值與公認值之間的相對偏差. 圖3是直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實驗測量結果分布圖.

表5 直徑0.30 mm尼龍線的實驗數據

圖2 直徑0.30 mm尼龍線的實驗數據擬合圖

表6 不同直徑(D)尼龍線的實驗測量結果、測量的相對誤差ug/g，以及測量值與公認值之間的相對偏差ur

圖3 直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實驗結果(圖中實心三角形、空心正方形分別對應直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.30 mm尼龍線的實驗結果，長虛線是理論重力加速度值，兩條短虛線是理論重力加速度值的千分之一誤差的上下限)

表7列出了直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實驗測量結果、測量的相對誤差以及測量值與公認值之間的相對偏差，圖4為直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實驗測量結果分布圖.

表7 不同直徑(D)魚線的實驗測量結果、測量的相對誤差ug/g以及測量值與公認值之間的相對偏差ur

圖4 直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實驗結果(圖中空心正方形、實心圓圈、實心三角形分別對應直徑0.25 mm魚線、直徑0.30 mm魚線、直徑0.20 mm魚線的實驗結果，三條虛線的物理含義同圖3)

在兩種不同直徑的尼龍線中，直徑0.30 mm的尼龍線測得的重力加速度g值更接近準確值. 在三種不同直徑的魚線中，直徑0.20 mm的魚線測得的重力加速度g值最接近準確值，直徑0.30 mm的魚線次之，直徑0.25 mm的魚線測得的重力加速度g值誤差最大. 其中以直徑0.20 mm的魚線為擺線所測得的重力加速度g與公認值之間的偏差都在0.1%左右，其中80%測量值的偏差在0.1%以內，獲得了較高的測量精度.

表8列出了直徑同為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結果、測量的相對誤差以及測量值與公認值之間的相對偏差，圖5為直徑同為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結果分布圖.

表8 直徑為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結果、測量的相對誤差ug/g以及測量值與公認值之間的相對偏差ur

圖5 直徑為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗結果(圖中實心三角形、空心正方形分別對應直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.25 mm魚線的實驗結果，三條虛線的物理含義同圖3)

表9列出了直徑同為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結果、測量的相對誤差以及測量值與公認值之間的相對偏差，圖6為直徑同為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結果分布圖.

表9 直徑為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結果、測量的相對誤差ug/g以及測量值與公認值之間的相對偏差ur

圖6 直徑為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗結果(圖中實心圓圈、實心三角形分別對應直徑0.30 mm尼龍線、直徑0.30 mm魚線的實驗結果，三條虛線的物理含義同圖3)

在兩種不同材質的擺線中，無論直徑為0.25 mm還是0.30 mm，采用魚線測得的重力加速度g值均優于采用尼龍線測量的結果.

通過以上幾組數據的分析可以發現：

1) 直徑相同時，魚線的測量結果明顯優于尼龍線. 由于尼龍線是由三股細線繞制而成，實驗時擺線的旋轉不可避免，尼龍線越收越緊，擺線長度的實際變化量與測量值偏差較大，并且尼龍線質量相對較大，因此實驗誤差相對較大.

2) 不同直徑的擺線對測量值的影響并不與直徑呈線性相關. 擺線直徑增大時，其質量增大，會增大實驗誤差，但根據楊氏模量E的定義公式E=FL/SL. 對于材料相同、直徑不同的擺線，在擺線長度L和擺線受力F相同的情況下，擺線直徑增大時，即橫截面積S增大時，擺線因受力產生的形變量ΔL減小，因擺線伸長而帶來的實驗誤差減小.因此對于材料相同、直徑不同的擺線，不同直徑導致以上兩方面的差異都會對實驗結果造成影響.

3.3 考慮單擺周期公式的一階小量后對實驗結果的影響

由單擺周期公式(2)，當θ很小時，近似得到公式(3). 在考慮單擺周期公式中的一階小量之后，近似為

對直徑0.25 mm的魚線數據進行一階小量的修正，結果如圖7.

圖7 直徑0.25 mm魚線，考慮單擺周期公式的一階小量前后的實驗結果(圖中空心正方形、實心三角形分別對應直徑0.25 mm魚線考慮一階小量修正前后的實驗結果，三條虛線的物理含義同圖3)

考慮單擺周期公式的一階小量修正后的結果比未修正前(即忽略一階及以上小量)的結果更接近真實值(實驗編號5的數據可認為是實驗的偶然性).但是否考慮單擺周期公式的一階小量對實驗結果的影響遠小于擺線的直徑和材質對實驗結果的影響.

4 結論

通過將直接測量單擺擺長改進為測量擺長的改變量，可以提高重力加速度的測量精度，最佳實驗條件下重力加速度的測量精度可達到0.1%. 在實驗測量過程中，改變擺長時應使擺長逐漸增大.

在本文選取的5種不同的線中，直徑0.20 mm的魚線測量結果最優. 考慮單擺周期公式的一階小量后使得實驗結果更接近準確值. 但是否考慮單擺周期公式的一階小量對實驗結果的影響遠小于擺線的直徑和材質對實驗結果的影響.