幾何化在相對論解題中的應用

馮曉明，程敏熙

(華南師范大學 物理與電信工程學院 物理國家級實驗教學示范中心， 廣東 廣州 510006)

在解答相對論題目的時候，往往需要進行大量的計算.尤其是關于參考系變換的題目，更為棘手，因為既要反復地運用洛倫茲變換，又要理順思路，時刻區分清楚到底是“誰相對于誰在做什么”.并且很多計算得到的結論往往讓人難以理解，似乎是“反直覺”的，違反人們的常識.

為簡化計算的繁雜度，同時也為了更直觀地解釋結論，通常會設法把計算問題轉化為閔可夫斯基空間中的幾何問題，通過討論幾何圖形的幾何行為，求解題目的答案和結論.常見的幾何化方法是二慣性系映射法[1]，其突出特點是無需移動事件點，僅通過映射的方法就能確定原事件點在新參考系中的坐標，快速而清晰，通常應用于快速解題；本文將提出另一種幾何化方法，雖然相較于前者要移動事件點，但移動的依據即是時空間隔的不變性，能向初學者直觀反映洛倫茲變換的動態過程以及時空間隔的不變性，傳遞物理學在變化中追求不變性的價值觀.

以一道題目為例，一列車以速度V勻速向右運動，以地面為參考系，當列車頭尾分別對準A、B時，A、B同時開槍，則同時死亡；若以列車為參考系，情況如何？

1 閔可夫斯基空間

在閔可夫斯基空間中，物理學中的事件概念就是實際事件的模型化，即認為每一事件發生在空間的一點和時間的一瞬，可用一個坐標(x,ct)表示.狹義相對性原理對時空變換的基本要求是保證時空間隔不變[2]，即

s′2=ct′2-x′2=

c2γ2(t-βx/c)2-γ2(x-βct)2=

(ct)2-x2=s2

(1)

這體現了物理學在變化中追求不變性的價值觀.反映在空時圖中，即要求事件點沿時空間隔等于常量的曲線上移動，這些曲線是以對角線為漸近線的兩個雙曲線族[3].其中，漸近線也被稱為光錐，表示光相對于原點所有可能的位置的集合.當s2>0，稱為類時間隔，當s2=0稱為類光間隔，當s2<0，稱為類空間隔.在類光與類時間隔中，均可以有因果關系，在變換后不能顛倒；而在類空間隔中，則不存在任何因果關系[4]，在變換后可以顛倒.由以上3種時空間隔可以劃分為如圖1所示的3種時空區.

圖1 時空區的劃分

因為在空時圖中，縱坐標是ct，橫坐標是x，所以某兩個事件點之間組成的直線斜率的絕對值表示速度大小的倒數[5]，這個速度的物理意義是兩個事件點建立聯系、進行信息交流的速度.而光速的斜率就是雙曲線漸近線的斜率.

如果某兩個事件點之間組成的斜率小于漸近線的速率，說明這兩個事件點之間是超光速交流，因為狹義相對論要求實物粒子的速度不能大于真空中的光速[6]，所以這是不允許的.如果某兩個事件點之間組成的斜率等于漸近線的速率，說明這兩個事件點之間是等光速交流，除非它們之間是靠光信號交流，否則也是不允許的.如果某兩個事件點之間組成的斜率大于漸近線的速率，說明這兩個事件點之間是低光速交流，這是允許的.

2 二慣性系映射法

2.1 幾何表示

以地面為參考系，如圖2所示，點C為事件的中點，則A、B同時開槍、同時死亡.

圖2 地面參考系

設A、B中點C為原點(0，0)，以地面為參考系建立ct-x空時圖，追蹤列車的中心，則列車初始事件也為(0，0)，再設其末事件為M(xM，tM).設A開槍為事件A1(xA1，tA1)，A死亡為事件A2(xA2，tA2)，B開槍為事件B1(xB1，tB1)，B死亡為事件B2(xB2，tB2)；在ct-x空時圖中，因為直線斜率的絕對值表示速度倒數的大小，在一般情況下，列車的速度小于子彈的速度，則事件M的斜率大于事件B1與事件A2構成的斜率；經過一段時間后，如圖3所示，其中，線段OM表示列車向右跑，線段A1B2表示A向左開槍打中B，線段B1A2表示B向右開槍打中A.

圖3 地面ct-x空時圖

若以列車為參考系，如圖4所示，因為A開槍發出子彈的運動方向與列車的運動方向相反，而B開槍發出子彈的運動方向與列車的運動方向相同，說明A開槍發出的子彈與列車的相對速度大于B開槍發出的子彈與列車的相對速度，即前者的子彈比后者的子彈要先到達列車參考系下的事件中點C’則易知A比B先開槍，但不知A、B誰先死.

圖4 列車參考系

對圖3進行參考系變換，即從地面參考系變換到列車參考系，建立列車ct′-x′空時圖，在列車參考系，則列車中心為原點(0，0)，設其末事件為M′(x′M，t′M)(因為此時列車相對于自己是靜止的，沒有發生位移)，設A開槍為事件A′1(x′A1，t′A1)，A死亡為事件A′2(x′A2，t′A2)，B開槍為事件B′1(x′B1，t′B1)，B死亡為事件B2′(x′B2，t′B2).因ct′軸與x′軸是關于光錐對稱的，由此可確定x′軸的擺向，如圖5所示.

圖5 時空軸關于光錐對稱

2.2 映射規則

空時圖中的映射規則是：從原事件點射出一條平行于x′軸的直線，其與ct′軸的交點即為這個事件點在新參考系中的時間坐標ct；同理，若從原事件點射出一條平行于ct′軸的直線，其與x′軸的交點即為這個事件點在新參考系中的空間坐標x.根據這一映射規則，所有事件點在新參考系中的時間坐標如圖6所示，其直觀而清晰地反映了4個事件發生的先后順序，即依次為A開槍，B開槍，A死亡，B死亡.

圖6 映射

綜上所述，二慣性系映射法具有步驟簡單、快速直觀的特點，非常適合于熟練者使用.然而，相對于初學者而言，可能存在以下兩個困難.1) 不理解映射規則，仍然受制于定勢思維，即認為原事件點分別在ct′軸與x′軸上的投影點才是其在新參考系中的時空坐標，則可能在映射過程中出錯，若事件點的數量越多，則映射的難度就越大；2) 由于該方法不需要移動事件點，則較難體現洛倫茲變換的“動態”過程，也體現不出時空間隔的不變性，感受不到物理學在變化中追求不變性的價值觀.而雙曲旋轉法能較好地照顧初學者的水平，有助于初學者解決上述兩個困難.

3 雙曲旋轉法

3.1 旋轉依據

雙曲旋轉法在變換前的步驟與二慣性系映射法完全一致，區別在于對圖5的后續處理.因為在畫圖時總要先選一個慣性系作為標準，即把ct軸與x軸分別畫成豎直與水平方向，而選哪個系作標準則完全任意[7]. 因此，若把列車參考系作為標準，則圖5可以等效為圖7.

圖7 雙曲旋轉

因為將兩坐標軸的擺向仍舊轉換為熟悉的正交關系，所以此舉能較好地照顧了初學者的水平.此外，根據時空間隔不變性，所有事件點均沿其上的雙曲線進行唯一方向的移動，此舉既有利于初學者觀察洛倫茲變換的動態過程，也有利于傳遞物理學追求不變性的價值觀.這一價值觀讓物理學家格外關注不變性，在伽利略變換中，時間是不變的，所以體現了絕對時間的觀念；而在洛倫茲變換中，時間卻是可變的，所以體現了相對時間的觀念；但在變化中卻隱含著不變性，即時空間隔的不變性，從而構筑起四維時空.根據這一不變性，洛倫茲變換就能形象地描述為事件點沿雙曲線的移動，把計算問題轉化為幾何問題.

設線段B′1A′2與x′軸正方向所成的角為α，因為這是定性分析，無法得知旋轉角的具體大小，則事件B′1和事件A′2的時間先后關系有三種可能：1) 當旋轉角度較小，即角α為銳角，則B′1早于A′2發生；2) 當旋轉角度恰好，即角α等于0，則B′1和A′2同時發生；3) 當旋轉角度較大，即角α為鈍角，則B′1遲于A′2發生.

3.2 因果律制約

若想完全確定事件點，就必須考慮事件點之間的因果關系.

一開始，事件B′1的時間坐標小于事件A′2的時間坐標.經過參考系變換之后，雖然B開槍(即事件B′1)是沿著類空左區向左上移動，而A死亡(即事件A′2)是沿著類時上區向左下移動，此時事件B′1的時間坐標看似有可能大于事件A′2的時間坐標，但這是不可能的.因為還要考慮兩個事件之間的交流速度是否超越了光速.

線段B′1A′2組成的斜率的絕對值表示子彈速度的倒數，因子彈的速度小于光速，所以線段B′1A′2組成的斜率應大于漸近線的斜率，即線段B′1A′2與x′軸正方向只能成銳角.所以事件B′1和事件A′2之間的時間關系只能是第一種可能，即B′1早于A′2發生.

這就意味著，在列車參考系中，A比B先開槍，A比B先死亡，且B開槍早于A死亡(因果律制約).這看起來似乎違反常識——先開槍的人怎么會先死亡呢？實際上，其中的因果關系并沒有發生混亂.

雖然A先開槍，B后開槍，但這并不能保證B一定要先死亡，A一定要后死亡.因為在A開槍、B死亡、B開槍、A死亡這4個事件中，前兩者有因果聯系，后兩者也有因果聯系，其余的兩兩之間并無因果聯系.即A開槍必然早于B死亡，B開槍必然早于A死亡，但B死亡與A死亡之間沒有因果聯系，不受因果律的制約，它們之間具體的先后發生順序要由參考系變換后的圖7決定，即B死亡遲于A死亡.由此可見，B死亡與A死亡所對應的事件點并不需要經過精確計算才能確定，而是能直接根據雙曲線的走向來定性確定.

此外，A先開槍卻先死亡，B后開槍卻后死亡，可以推斷出這么一個事實：從A發出的子彈速度是比從B發出的子彈速度要慢的.雖然是相同的子彈，但因為變換了參考系，所以速度大小會有所不同，并且可以肯定的是兩者均不會超越光速.反映在圖7上，則線段A′1B′2、線段B′1A′2、漸近線這三者的斜率絕對值必須是依次遞減的，進一步定性確定4個事件點的相對位置.由此可見，對幾何化結果的解讀也能反過來調整事件點相對位置之間的合理性.

3.3 小結

對比參考系變換前后的圖3和圖7，可知4個事件點所構成的圖形由矩形經過旋轉拉伸后變為了平行四邊形.根據雙曲線的走向，先分別確定了B死亡與A先死亡的相對位置、B開槍與A開槍的相對位置；再根據線段A′1B′2、線段B′1A′2、漸近線之間斜率絕對值的大小關系，就能定性確定4個事件點之間的相對位置.幾何化的結果十分直觀地表達了4個事件之間發生的先后順序，所以在列車參考系中，它們發生的先后順序為A開槍，B開槍，A先死亡，B死亡.

4 拓展

幾何化的方法還有助于對題目進行拓展，加深認識.例如，從圖形的幾何行為出發，除了旋轉拉伸，還有對稱.如果平行四邊形在圖7中關于ct′軸對稱，所對應的情況即是在一列向左行駛的列車參考系中依次觀察到B開槍，A開槍，B先死亡，A死亡，也得到了“誰先開槍誰先死”的結論.這說明在不同的參考系中，事件先后順序在不違反因果律的前提下會發生不同的改變，這就是相對論時空觀的神奇之處.此外，二慣性系映射法也能進行如上拓展.

5 結語

通過幾何化方法，能將原本復雜的手動計算過程轉化為簡單直觀的幾何圖形變形過程.常見的幾何化方法是二慣性系映射法，其特點是只要根據對稱性畫出新參考系時空軸的擺向，就可無需移動事件點，僅在其原來的位置上通過映射規則確定在新參考系中的坐標，十分方便與快捷.

而雙曲旋轉法的特點是直觀反映洛倫茲變換動態過程以及時空間隔的不變性，傳遞物理學在變化中追求不變性的價值觀；通過對因果律的分析，能粗略確定參考系變換后事件點之間的相對位置；而對圖形的解讀既能反過來細調事件點之間的相對位置，互相牽制、互相印證；又能利用對稱等幾何性質對原題目進行適當拓展，加深理解.

綜上所述，兩種方法均有各自的特點，前者適合于熟練者快速地解題，后者適合于初學者的學習，共同目的均是把文本信息轉化為圖像信息，既提高了解題效率，又提升了“看圖說話”的空間想象與幾何分析能力.