非相對論下均勻斜交電磁場中正電荷的運動狀況分析

邵 云，徐詩燁

(南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171)

目前已有不少學者對于非相對論下均勻斜交電磁場中正電荷的運動進行了研究，如文獻[1-4]等，但是若從物理圖像和便于理解的角度來說，僅有少數文獻做到了這一點，如文獻[1]等.多數文獻(包括本文未引用的一些文章)均采用了求解微分方程組的方法，雖然求解并不復雜，但是其后續的物理分析卻相當費力：圖像不夠清晰且不容易獲得較全面的結論.此外，包括文獻[1]在內的大多數文獻的內容都顯得不夠完整，它們或者缺少系統的動力學分析[1]，或者缺少必要的計算過程、作圖、分析探究等，甚至原理的闡述也存在錯誤[1].本文將總體沿襲文獻[1]從物理圖像上進行分析的思路，對均勻斜交電磁場中正電荷的運動狀況進行更深入細致的研究，力求形成既形象又完整的認識.

1 正電荷在均勻斜交電磁場中的動力學分析

如圖1所示，為便于分析與計算，設磁場B沿z軸正方向，電場E在yz平面內，與磁場方向成α夾角；并設開始時(t=0)點電荷+q位于坐標系的原點O處，初速度為v0(圖中未畫出).將E、v0分別在平行與垂直于磁場的方向進行投影，得

E=E//+E⊥

(1)

v0=v0//+v0⊥

(2)

圖1 均勻斜交電磁場中點電荷+q的初速度分解

設點電荷+q的質量為m，則它在圖1所示均勻電磁場中的動力學矢量方程為

(3)

其中點電荷在任意時刻的速度矢量v亦可分解為

v=v//+v⊥

(4)

將式(1)、式(4)代入式(3)得

(5)

其中已考慮到v//×B=0.鑒于(v⊥×B)⊥B始終成立，因此式(5)可分解為

(6)

(7)

式(6)意味著點電荷+q沿磁場方向做勻加速直線運動.對于式(7)，可設計一個沿x軸正方向的恒定速度v1，如圖1中所示，使得

E⊥+v1×B=0

(8)

易見v1的大小為

(9)

于是式(7)可修改為

(10)

再設

v′⊥=v⊥-v1

(11)

(12)

顯然，v′⊥表達的是一個在洛倫茲力的作用下在xy平面內的勻速率圓周運動，如圖2所示.至此，我們已將速度矢量v分解成

v=v//+v⊥=v//+v1+v′⊥

(13)

即將點電荷+q在電磁場中的運動分解為：沿磁場B方向的勻加速直線運動，見式(6)；沿x軸方向速度為v1的勻速直線運動；xy平面內的勻速率圓周運動，見式(12).

圖1和2中已標出勻速率圓周運動速度v′⊥的初矢量v′0⊥，它不僅依賴于電荷的初速度v0(或v0⊥)，還依賴于引入速度v1，可稱之為xy平面內的“相對初速度”.若設v0=v0xi+v0yj+v0zk，結合圖1、圖2，便得速率：

(14)

圖2 點電荷+q在xy平面內的分運動之一——勻速率圓周運動

以及v′⊥與x軸正方向的初始夾角：

(15)

2 正電荷在均勻斜交電磁場中的運動學方程

根據速率表達式(14)可得圖2中勻速率圓周運動的半徑為

(16)

圓頻率為

(17)

圓心C的坐標為

xC=Rsinβ

(18)

yC=-Rcosβ

(19)

設點電荷+q在任意t時刻的實際空間坐標為(x,y,z)，結合初始條件及圖1，由式(6)可得點電荷在z方向上的運動方程為

(20)

結合初始條件及圖2，由式(11)又可得點電荷在xy平面內的運動方程為

x(t)=v1t+xC+Rsin(ωt-β)

(21)

y(t)=yC+Rcos(ωt-β)

(22)

這里需要說明一下，點電荷在xy平面內的初速度分量v0x、v0y已融入圓周運動諸參量，故而它們未在式(21)、(22)中顯現.將式(9)、(15)—(19)代入式(21)、(22)，整理可得

(23)

(24)

式(20)、(23)、(24)便構成了點電荷+q在均勻電磁場中的整個空間運動方程.

倘若點電荷+q的初速度v0=0，則運動方程式(20)、(23)、(24)分別簡化為

(25)

(26)

(27)

3 正電荷在xy平面內的投影運動軌跡及分析

鑒于點電荷+q在磁場方向也即z軸方向做簡單而獨立的勻加速直線運動，見式(20)，因此我們只需考察它在xy平面內的投影運動，即可了解不同初速度情形下各種運動的差別.

(28)

(29)

下面將取不同的初速度分量v0x、v0y(單位為E/B)分別討論點電荷在xy平面內的投影運動軌跡.

1)v0x=0，v0y=0

這實際上是電荷的初速度沿磁場方向的情形，此時式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5(t-sint)

(30)

y(t)=0.5(1-cost)

(31)

正如上文所言，此時電荷在xy平面內的軌跡為一圓滾線，如下文圖3所示.

2)v0x=v1=0.5，v0y=0

這時電荷在xy平面內的初速度恰為v1，式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t

(32)

y(t)=0

(33)

顯然，這時電荷在xy平面內因受力平衡而沿x軸做速度為v1的勻速直線運動.

3)v0x=1.5v1=0.75，v0y=0

這時式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t+0.25sint

(34)

y(t)=-0.25(1-cost)

(35)

4)v0x=0.5v1=0.25，v0y=0

這時式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t-0.25sint

(36)

y(t)=0.25(1-cost)

(37)

5)v0x=2v1=1，v0y=0

這時式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5(t+sint)

(38)

y(t)=-0.5(1-cost)

(39)

可見此時電荷在xy平面內的軌跡也是一圓滾線，形狀與1)情形相同.

6)v0x=-v1=-0.5，v0y=0

這時電荷在xy平面內的初速度沿x軸負方向，式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t-sint

(40)

y(t)=1-cost

(41)

這時電荷在xy平面內的初速度沿y軸正方向，式(28)、(29)簡化為

(42)

(43)

8)v0x=v1=0.5，v0y=2v1=1

這時電荷在xy平面內的初速度沿0.5i+j方向，式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t+1-cost

(44)

y(t)=sint

(45)

將上面1)～6)6種情形下電荷在xy平面內的軌跡一同繪于圖3，而將6)～8)3種情形(v′0⊥相等)下的軌跡繪于圖4.

圖3 v0y=0而v0x取幾個典型值時點電荷+q在xy平面內的投影運動軌跡

圖4 v′0⊥相同而v0x、v0y取不同值時點電荷+q在xy平面內的投影運動軌跡

圖3中的短幅圓滾線、圓滾線、長幅圓滾線軌跡分別對應于“相對初速度”大小也即圓周運動速率v′0⊥v1這三種情形，其中原因不言而喻.

(46)

式(46)右邊()內便是上文所述長度單位，因此圖3、圖4中共同周期Δx的數值為π.

4 正電荷的空間運動軌跡

根據運動方程式(20)、(23)、(24)可作出點電荷+q在空間的運動軌跡.為了一般起見，取初速度分量v0x=v0y=v0z=2v1=1 (E/B)作為特例，α依然取30°，則上述運動方程式可“約化”并簡化為

(47)

x(t)=0.5t+0.5sint-cost+1

(48)

y(t)=0.5cost+sint-0.5

(49)

圖5 初速度分量取v0x=v0y=v0z=2v1=1 (E/B)時點電荷+q 的空間軌跡

(50)

由第3節的結論可知，除了初速度分量v0x=v1=0.5 (E/B),v0y=0的情形下電荷的空間軌跡是2維曲線外，其他初速情形下的空間軌跡皆與圖5中類似.

5 關于均勻正交電磁場(E⊥B)情形下3種特殊情況的討論

對于常見的均勻正交電磁場情形，參見圖1，有α=90°，則式(20)、(23)、(24)約簡為

z(t)=v0zt

(20′)

(23′)

(24′)

5.1 E⊥B,v0//E的情形

此時有v0x=v0z=0,v0y=v0，將其代入式(20′)、(23′)、(24′)，化簡可得

(51)

按照第3節中的分析，由于這時圖1中的“相對初速度”也即圖2中的圓周運動速率

由圖3、圖4可知，此時點電荷+q的空間軌跡與圖4中標記為(0,1.732v1)的投影軌跡類似，均為xy平面內的長幅圓滾線.

5.2 E⊥B, v0//B的情形

此時有v0x=v0y=0,v0z=v0，將其代入式(20′)、(23′)、(24′)，化簡得

(52)

其中后兩分式其實就是上文第2節中式(26)、(27)令α=90°.于是可見，點電荷+q在xy平面內做類似于圖3中標記為0的嚴格圓滾線運動，在z軸方向則做v0速度的勻速運動.

5.3 E⊥B, v0//(E×B)的情形

此時有v0x=v0,v0y=v0z=0，代入式(20′)、(23′)、(24′)整理得

(53)

本節的內容在文獻[3]中曾有類似的討論，結果一致.雖然本節運動方程式(51)—(53)都比較簡單，并且通過觀察也能發現電荷在xy平面內的運動是兩種運動的疊加[7]，但是其中的物理機制、圖像卻不甚明朗，仍需借助第1—3節中的分析結論(包括圖1—4)來闡述.

6 總結與說明

不同于多數文獻所采用的直接求解微分方程組的思路，本文采用的是速度矢量分解和代換的分析方法，將點電荷+q在均勻斜交電磁場中的運動分解為：沿磁場方向的勻加速直線運動;垂直于電、磁場方向的勻速直線運動;垂直于磁場方向的勻速率圓周運動，進而分析得到電荷的運動方程.該方法物理圖像清晰，容易掌握，更便于后續的運動狀況分類及分析，見本文第3節.

本文引入代換式(11)即v⊥=v1+v′⊥，將電荷在xy平面內的投影運動進行分解的物理本質是：采用速度為v1的平動參考系來平衡電場力E⊥q，消去E⊥的影響[8]，于是就只剩下圖2中洛倫茲力作用下的勻速率圓周運動了.