新高考數學命題三大情境的思考

朱旭穎 (浙江省杭州市余杭文昌高級中學 311121)

1 高考數學命題的三大情境解讀

2020年初《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》由人民教育出版社出版發行，兩個文獻分別從“高考的核心功能、考查內容、考查要求三個方面回答為什么考、考什么、怎么考等考試的根本性問題，從而給出培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人這一教育根本問題在高考領域的答案”[1]．這將成為未來新高考改革、高考命題和高考實踐的重要指南，也將成為學生復習備考的重要參考．

數學的情境包括引入數學概念時的情境、學習數學原理時的情境、學習數學運算時的情境、數學推理過程中的問題情境等.教學中要引導學生關注已有數學知識的基礎和準備程度．這些情境是學生最熟悉的問題情境，在高考數學命題試卷中比例最高．

科學(創新)的情境包括推演數學命題、數學探究、數據分析、數學實驗等問題情境，與21世紀最新科學技術緊密聯系，關注與未來學習的關聯和數學學科內部的更深入的探索．這些情境檢測平時數學研究性學習或數學探究活動的學習，與數學本質關聯度最高、難度較大，是區分學生數學思維水平的試金石．

現實的情境是社會文化與經濟生活的實踐情境，需要考生將觀察到的現實現象與學科知識、方法建立聯系，應用學科工具解決問題，關注數學學科與其他學科和社會實踐的關聯．這些情境需要在“用數學眼光看世界”理念引領下，引導學生學會觀察，學會綜合分析現實問題中的數學模型，并培養學生數學應用意識，檢測學生數學建模的意識、能力與素養．

2 2020年新高考數學命題三大情境

2.1 新高考數學中現實情境題大增

2020年新高考北京、天津、山東、海南數學過渡卷中，數學應用題(含數學文化)增多，且有不良結構(開放)題、多項選擇題等新題型的進入，特別是大量引入應用性和探究性試題，新高考數學命題的變化也都體現在應用性、創新性、開放性、選擇性上．研究發現，新高考數學試卷閱讀量與應用題數量呈現正相關性，2020年山東卷有1 080多字，而全國卷1理科僅670多字，江蘇卷800多字;從應用題題量看，山東卷有7題，全國卷I理科僅有3題，江蘇卷4題．

·現實情境緊密聯系社會熱點

引導學生“用數學眼光觀察現實世界”，尤其是現實社會熱點，有利于培養學生數學應用的意識．

例1(2020年山東卷第6題)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數，基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：I(t)=ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位：天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6，據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)( )．

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

·現實情境檢測數學建模能力

數學建模能力應該在解決現實問題的過程中，在實踐、體驗、感悟和獲得基本經驗的過程中形成．現實生活中類似的問題有很多，只有學會用數學的方法去思考世界，用數學的語言去表達世界，數學建模能力才會逐步提升．

圖1

①在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

②在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都已達標；

④甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強．

其中所有正確結論的序號是．

·現實情境緊密聯系數學文化

數學源于現實生活中的方方面面，經歷一代一代的數學家的抽象和歸納得到，蘊含著大量的文化元素，通過課堂再現使得數學文化得以延續．近幾年的高考數學命題中，體現數學文化的試題漸漸成為高考數學的標配．

例3(2020年高考山東卷第4題)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所成平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為( )．

A．20° B．40° C．50° D．90°

圖2

2.2 新高考數學中科學情境緊貼數學概念

數學不僅僅是數量關系與空間形式的學科，數學也是研究自然現象、解釋空間形式和關系的基礎，比如無人機大戰、無人機專投等都是數學模型的應用．科學情境可以激發學生用數學思維思考世界，用數學概念與方法解釋科學現象與概念．

新定義試題是高考數學命題的一種常見形式，命題者把科學技術中的基本概念與數學概念緊密聯系起來，即關聯層次的情境，要求應試者將新概念與自己學習的知識迅速聯想，理解題目的內涵，從而尋找到解決問題的突破口．

A．若n=1，p1=1，則H(X)=0

B．若n=2，則H(X)隨著pi的增大而增大

D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為j=1，2，3，…，m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1，2，3，…，m)，則H(X)≤H(Y).

2.3 新高考數學中數學情境重在推理

毫無疑問，新高考數學命題中的數學情境是檢測學生中學階段所學數學知識的主干內容，重在邏輯推理、構建數學結構與模型識別．

·數學主干內容是邏輯推理主題

《課標》案例11“正方體截面的探究”、案例24“四棱錐中的平行問題”、案例31“圓柱體截面的問題”都需要有較強的轉化與化歸能力．本題完全吻合《課標》要求，需要學生熟悉一些基本的空間幾何體的模型．

·數學情境問題解決重在數學運算能力

數學情境主干內容函數、三角、數列、解析幾何、立體幾何等都離不開基本繁雜的運算，沒有強大的運算能力，是不可能在任何數學測試中獲得成功的．

例6(2020年山東卷第18題)已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{an}通項公式；

(2)記bm為{an}在區間(0，m](m∈N*)中的項的個數，求數列{bm}的前100項和S100．

此問題第(2)問需要學生在數字運算過程中進行邏輯推理．

·數學情境問題解決靠四大思想

高考數學離不開數學思想的引領，尤其在數學情境中，函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化與化歸思想是數學情境的內在本質．

3 2021年新高考數學命題三大情境的內容與落點

高考數學命題中任何情境離不開中學數學基本內容，但是情境更加新穎，設問角度更加觸及數學學科的核心素養的要求，且體現高中數學課程標準評價中的味道．

3.1 內容

根據《課標》的評價要求，2021年新高考數學命題仍處在過渡階段，三大情境的內容所呈現的三大層次仍保持2020年的特色，應用性與創新性仍是主流．

3.2 落點

根據《課標》中評價的內容要求，對新課改背景下的數學教學落點給出如下建議．

第一是對有可能考到的知識點盡量講深、講透.這不會增加負擔，反而是在給學生提供更多的彈藥，與其拿出一節課、半節課講一道難題，不如講與難題相關的知識點，并用相應的知識點來解決難題．

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M，N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．

此題第(2)問是難題，但離不開直線與圓錐曲線的基本模式：聯立直線與圓錐曲線方程—利用韋達定理建立交點坐標與參數間數量關系—化簡參變量函數(雙參數化為單參數)—建立某個主變量(如面積)函數或點斜式直線方程等．圓錐曲線問題中障礙最多的就是運算，根據問題涉及的代數式結構，訓練突破結構難點的方法最重要．

第二是重視訓練題的應用性和創新性．如前所述，數學已不僅僅是數量關系與空間形式的學科，數學知識的應用與創新能力需要通過數學應用意識與學科素養來提升，高考命題中引入多項選擇題、開放(結構不良)題、數據分析題、舉例題、邏輯分析題正是檢驗學生的創新能力的改革舉措，2020年山東卷以解三角形為背景創建結構不良型的開放題，以后以數列為背景或其他主干內容為背景的開放題也將成為可能．

例8設等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}的前n項和為Tn，，a5=b1，4Tn=3bn-1(n∈N*)，是否存在實數λ，對任意n∈N*都有λ≤Sn？若存在，求實數λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

在①3a2+b2+b4=0；②a4=b4；③S3=-27這三個條件中任選一個補充在上面問題中，并解答問題．

(1)若補充條件3a2+b2+b4=0，利用已知條件求出a2，d得到an，求出Sn的最小值即可得出結論；

第三是充分訓練代數運算．運算多么熟練都不過分，解析幾何與立體幾何等都會有大量運算，學生在審題與運算中始終要關注代數式、三角式等結構，以便尋找到合理的運算途徑．

很多學生看到此問題，首先想利用導數工具來解決，結果運算過程相當復雜且處處受阻．

第四是作業的有效設計，嚴格控制作業量.作業可分為學案、鞏固作業、“自助餐”(提升素養).學案上課用，引導學生深入概念，了解方法，掌握數學概念的內涵與外延；鞏固作業自習課用，下課即收，當天批閱，晚自習發下去；“自助餐”帶有詳細答案，比如《高考數學自我修煉手冊》，不收不批，由學生自主練習.過多的作業會讓學生疲于應付，消化不良，盡管平時成績好一點，高考卻很難考好，特別是尖子生會大打折扣，因此要預防學生對教師產生抵觸心理，以免對學業成績造成負面影響．