體現數學本質的概念教學設計
——以“函數的概念和圖象”為例

金 鵬 高建平 (江蘇省蘇州高新區第一中學 215011)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確提出:“基于數學核心素養的教學活動應該把握數學的本質．”什么是數學本質？數學本質就是數學內容本身所具有的根本屬性，是數學內容區別于其他學科內容的基本特質．傅贏芳、喻平在文[1]中指出：“對數學本質的理解是學生發展數學核心素養的必要條件，數學教學要關注知識的源起、發展、價值和意義以及學科的內在本質和規律，引導學生從學科的視角理解世界和分析問題，培養學科意識和思維習慣．”數學教學應該注重數學本質的呈現，這是數學教學的立足之本．基于此，筆者以“函數的概念和圖象”為例談談如何在數學概念教學中體現數學本質，呈己之見，與同行探討．

1 對教材內容深透理解

英國哲學家羅素曾說：“凡是你教的東西，要教得透徹．”這就意味著教師必須要深鉆教材，理清知識發生的本質，把握教材中最主要、最本質的東西．“函數的概念和圖象”是教材必修1第2章“函數的概念”中的 第1節內容，學生在初中已初步學習了函數知識，掌握了一些簡單函數的表示法、性質、圖象．本節內容是對函數概念的再認識，是對函數概念的深化與提高．為了幫助學生在原有認知基礎上突破認知瓶頸(由變量說向對應說的轉變)，整個設計從實際背景和定義兩個方面幫助學生理解函數概念的本質，而如何理解從集合的角度抽象出函數概念的本質正是本節的重難點所在．基于此，本節立足于學生所認識到的客觀現實中的生活實例，從具體問題入手，引導學生通過實驗、觀察、歸納、抽象、概括等活動，數學地提出、分析和解決問題．

為了使學生了解函數概念產生的背景，豐富函數的感性認識，執教者力圖通過本節課的教學，讓學生通過“經歷”和“體驗”達到“了解”“理解”的水平．具體如表1.

表1

2 教學設計要著重突出數學本質

張奠宙教授指出：數學教學的目標之一，是要把數學知識的學術形態轉化為教育形態，這是所有教師的責任．實際上，數學知識的學術形態通常表現出“冰冷的美麗”，而數學知識的教育形態正是一種“火熱的思考”．數學教師的任務在于把數學形式化的邏輯鏈條，真實地還原為當初數學家發明(發現)時進行數學思維的過程．為了使學生了解函數的本質，本文真實地呈現其發展的歷程．下面摘取三個片段．

·教學片段1

問題1初中曾經學過哪些函數？

生：一次函數、二次函數、反比例函數．

問題2初中的函數是怎樣定義的？

生：一個量y隨另外一個量x變化．

師：他描述得準確嗎？還能不能更準確一些呢？

生：在一變化過程中有兩個變量x與y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y是x的函數．

問題3為什么要建立函數的概念？函數的概念是如何建立的？

(教室內一片沉寂)

師：函數概念是數學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數概念的發展，眾多數學家從多種角度不斷賦予函數概念以新的思想，從而推動了整個數學的發展．下面就讓我們翻開歷史，一起來看一看“函數”的來龍去脈吧．

(通過PPT介紹函數概念的發展與形成的第一階段：函數的變量說)

17世紀伽俐略在《兩門新科學》一書中，用文字和比例的語言表達函數的關系．1718年約翰·貝努利對函數概念進行了明確定義，他把變量x和常量按任何方式構成的量叫做“x的函數”．歐拉在《無窮分析引論》(1748)中給出的函數定義是：“一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何方式組成的解析式．”

17和18世紀的數學家對函數問題的認識有著共同的思考：函數就是解析式．

問題4y=1(x∈R)是函數嗎？是不是所有的函數關系都能用解析式表示？沒有解析式的能算作函數嗎？

學生眾說紛紜．

設計意圖基于學生的最近發展區，從學生初中學習的知識入手，但其對函數這個概念仍然是模糊的，特別是為什么要建立函數的概念？函數的概念是如何建立的？概念的形成經歷了哪些過程？等等．基于此，通過閱讀材料，讓學生沿著數學家探索函數概念所走過的路，了解概念的來龍去脈，經歷知識發生發展的過程．從數學自身的發展來看，變量與函數概念的引入，標志著數學由常量數學向變量數學邁進．初中函數概念是用“變量說”來定義的，這種定義方式有易于學生接受的一面，也有其不足的一面[2]．例如，當我們遇到問題4，y是一個常數，并沒有體現出一個量隨另外一個量變化，學生就會疑惑這到底是不是函數，由此需要對函數進行更深一步的研究．

·教學片段2

在現實生活中，我們可能會遇到下列問題：

1.估計人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據．從人口統計年鑒中可以查得我國1949—1999年人口數據資料如表2所示，你能根據該表說出我國人口的變化情況嗎？

表2

2.一個物體從靜止開始下落，下落的距離y(單位：m)與下落時間x(單位：s)之間近似地滿足關系式y=4.9x2．若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

3.圖1為某市一天24小時內的氣溫變化圖．

圖1

(1)上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

(2)在什么時刻，氣溫為0℃？

(3)在什么時段內，氣溫在0℃以上？

評注對于上述問題，從學生的實際情況來看，也只能是從表面上去回答，問題2、3還可以根據解析式和圖象去尋求解答，而對于問題1學生最多也只能發現隨著年份的增加，人口越來越多．對于接下來如何研究函數、怎樣抽象出函數的概念仍然沒有清晰的路線與方法．教師可以引導學生進一步提出一系列有層次的問題，并借助函數的發展史，借鑒數學家的研究路線等開始概念學習．

問題1當情境1中年份確定時，相應年份的人口數是否確定？那么你能根據表格寫出1949—1999年年份與我國人口數的關系式嗎？

問題2當情境3中的時間確定時，相應的溫度是否確定？你能寫出溫度隨時間變化的關系式嗎？

問題3上述問題有變量嗎？有幾個變量？分別是什么？

問題4上述例子中變量間的關系有什么共同特點？

(待學生充分思考、討論、交流、闡述后，教師帶領學生通過PPT再次了解函數概念的發展與形成的第二階段：變量的對應說)

歐拉發現函數表示的是變量的一種依賴關系，并于1755年在《微分學原理》序言中給出定義：“如果某個量依賴于另一個量，當后面這個量變化時，前面這個量也隨之變化，則前面這個量稱為后面這個量的函數．”但也有學者發現并不是所有變量之間都具有依賴性，如果在解析式中找不到x，y的對應關系,那么還能算作函數嗎？1823年柯西從定義變量開始給出了函數的定義，同時指出函數不一定要有解析表達式．1837年狄利克雷認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數．”

·教學片段3

(帶領學生通過PPT了解函數概念的發展與形成的第三階段：集合的對應說)

狄利克雷的函數定義出色地避免了以往各種函數定義中所有的關于依賴關系的描述，更加簡明、精確，并呈現完全清晰的方式．至此，我們可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義，也就是同學們初中學習的函數定義．但是我們進入高中學習了集合，那能不能用集合語言來描述這三個情境中的共同特征？

學生再次深思，教師根據學生的討論適時地提出以下幾個問題：

問題1能否用集合語言來描述這兩個變量呢？

問題2怎樣用集合語言來描述這種對應關系？這種對應關系存在什么規律呢？

問題3結合剛才所概括的函數本質，能否給出函數的概念？

問題4y=1(x∈R)是函數嗎？

生：是函數，此時A=R，B={1}，對于集合A中每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素1和它對應．

師：說得很好．在康托創立集合論之后，維布倫(Veblen)第一次用“集合”與“對應”的概念為近代函數定義，通過集合的概念把函數的三要素具體化，打破了“變量是數”的限制[3]．

設計意圖在函數概念的引入中，通過具體實例使學生體會對應關系．這里考慮到學生的認知基礎，從已經掌握的具體函數出發，結合生活經歷引發學生思考，逐步構建函數的一般概念．

3 教學中如何體現數學本質

3.1 尋根究源，從數學文化中感悟知識的本質

課標倡導讓學生發現、探索、學習新的知識，但與此同時，介紹有關的背景文化(如上述介紹函數概念的發展歷史)，讓學生欣賞數學家的探索經歷，從這些過程中感受數學家們的執著、反復與嚴謹，這將會帶給學生情感、態度和價值觀上的變化．另外，數學文化中蘊含的數學理性精神的追求，正是對數學本質孜孜不倦追求的體現，如本案例中函數概念從變量說向對應說的探索過程就是數學家不斷追求數學本質的漫長過程，學生在這樣的過程中將感悟到數學知識是不斷嚴謹化的思維成果，也更可能觸及函數概念的本質．

3.2 基于實際，從具體情境中抽象出數學本質

數學的高度抽象性是數學的本質特征，正是這樣的特征使得多數學生不易理解數學，產生學習的畏懼感．在概念教學中，增加“使學生感受數學與現實生活的聯系”，使他們有更多的機會從身邊熟悉的實例中學習數學概念和理解數學知識，感受到數學的價值．更重要的是，學生通過對實例的研究，經歷觀察、歸納、概括等重要的數學抽象過程，通過實例的具象共性看到知識的深刻本質，具體化、生活化的案例降低了數學的抽象程度，降低了數學教學的起點和難度，增強了學生學習數學的信心和樂趣．

3.3 強調生成，在理性探究中理解數學本質

新課標強調知識的生成，只有經歷整個知識的探究(學習)過程才能理解數學的本質，才能將概念的過程形態轉變為對象形態穩定在頭腦中．本節課經歷了以下過程：

(1)用問題引出與初中函數概念“變量說”的認知沖突，引發學生思考．為了形成新概念，選擇所考察的經驗材料要能夠幫助學生概括概念的內涵．

(2)三個具體實例(表、關系式、圖象)實際是函數概念的三個不同的表征形式，既與初中學習的函數表示方法相聯系，又打破了初中學習的局限，學生在這一過程中很好地完成了函數概念的遷移．

(3)通過實例抽象數學概念，為了降低難度，引導學生用集合語言來闡述它們的共同特點，讓學生了解函數是數集之間的一種特殊的對應關系，并引導學生體會初、高中函數的定義，發現其本質一樣，不同的是初中突出變化，高中突出對應．

(4)經歷“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究過程，讓學生對函數概念的發展、內涵與外延認識得更加深刻．讓學生自主建構概念發生的線路圖，幫助學生了解概念的來龍去脈，經歷知識發生發展的過程，完善其數學認知結構，促進對核心概念的整體理解．

總之，一節真正好的數學課，應該跳出題海，回歸本源，讓學生真真切切地在設計的數學活動中感受數學的本質，理解數學的本質[4]．