讓學生經(jīng)歷真實的數(shù)學研究過程
——“基本不等式”的教學實錄與反思

龔亮亮 卓 斌 (南京師范大學附屬中學秦淮科技高中 210007)

探索是任何一門科學的生命線．“一個好的教師讓人發(fā)現(xiàn)真理，而一個壞的教師奉送真理”．在數(shù)學定理、數(shù)學公式的教學中，我們要讓學生經(jīng)歷“問題—實驗—猜想—證明”這樣真實的研究過程，從而培養(yǎng)學生綜合應用數(shù)學知識和數(shù)學思想方法進行數(shù)學探究的能力．本文以“基本不等式”一課為例，談一談讓學生經(jīng)歷數(shù)學研究的過程與思考．

1 課堂教學實錄

1.1 創(chuàng)設現(xiàn)實情境，提出數(shù)學問題

師：同學們，屏幕上展示的是什么？

生眾：天平．

師：我們都知道天平是用來稱量物體質量的，老師現(xiàn)在遇到一個棘手的問題．

(屏幕展示)現(xiàn)有一架天平造得不準確，天平的兩臂長略有不同(其他因素不計)．將物體放到左右兩個盤子中各稱一次，放在左盤稱得質量為a，放在右盤稱得質量為b．那么該如何合理地表示物體的質量呢？

師：你是怎么思考的？

生1：物體放在左、右兩盤稱了兩次，兩臂長略有不等，所以兩次稱得的質量應該一次比物體質量略大，一次比物體質量略小．

師：因此你取了兩次的平均值．同學們，你們認可嗎？還可以從其他角度合理地表示物體的質量嗎？

師：請問l1,l2是怎么來的？

生2：設天平的左臂長為l1，右臂長為l2．

師：認真審題，你列的方程組對嗎？

師：如何求解呢？

師：將兩式相除的目的是什么？

生3：因為l1,l2是求解中引進的輔助量，必須消去．

點評教師通過問題：天平稱量物體兩次質量不等，怎樣合理表示物體的質量？引發(fā)學生積極思考，一是依靠生活常識，用“算術平均數(shù)”表示，二是借助學習的物理知識進行嚴格運算，從而得到兩個不同的結果．進而追問：“依靠生活常識給出的估計值和準確值相比，是大了還是小了呢？”創(chuàng)設的情境真實而有意義，問題的提出合理而自然．難能可貴的是對生2的兩處錯誤，教師處置較為高明：一是引導學生認真審題，不放過細節(jié)；二是引導學生明白解題過程中引進的輔助量必須消去，做到設而不求．

1.2 設計數(shù)學實驗，作出數(shù)學猜想

師：可能相等嗎？

生4：當a=b時，相等．

表1

師：因此，你的猜想是什么呢？

師：數(shù)學講究嚴謹而理性，僅靠有限的數(shù)據(jù)檢驗得到的結論不能作為數(shù)學命題．接下來應該怎么辦呢？

1.3 嘗試數(shù)學證明，得出數(shù)學命題

生眾：證明．

師：請同學們嘗試一下給出證明．

(停頓20秒，巡視一下有哪些不同的證明思路)．

實物投影展示第一位學生的證法:

師：請說說數(shù)學依據(jù)，怎么想到證明思路的？

生5：先平方，然后作差．

師：什么時候取等號呢？

生6：當a=b時取等號．

師：解釋一下，什么叫“當a=b時取等號？”

生6：是的．

師：因此，我們應該說“當且僅當a=b時，取等號”．

師：兩邊不平方，直接作差，行嗎？

師：這種證明方法稱為作差比較法．

師：請這位同學說說你是怎么想的？

生8：必須增加條件a>0,b>0．

師：非常好！這種證明方法叫做綜合法．請同學們思考，綜合法與分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？

生9：綜合法就是將分析法的順序倒過來．分析法是從要證的式子入手，一步一步尋找使得它成立的充分條件．綜合法就是把分析法的最后一步作為條件，一步一步推到我們要證的結論．

師：好的，分析法就是執(zhí)果索因，綜合法是由因導果．

點評基于學生真實的證明思路，教師悉心呵護學生“原生態(tài)”的思維過程，并引導學生修正完善，總結提煉，最終自然地給出了四種不同的證明方法——平方作差法、作差比較法、分析法和綜合法．師生之間火熱的對話既是數(shù)學思維的碰撞，也是數(shù)學思想的流淌，猶如一幅美麗的畫卷，讓人賞心悅目．

1.4 精致數(shù)學命題，析出研究經(jīng)驗

師：我們從數(shù)的角度進行了證明，能否從形的角度來認識這個不等式呢？(停頓30秒)比如我們現(xiàn)在有兩條線段，長度分別為a和b，你能夠構造出不等式兩側的量嗎？

圖1

師：理由呢？

師：那么這個不等式的幾何意義用文字語言如何敘述呢？

生13：半弦不大于半徑．

生14：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它的算術平均數(shù)．

師：a，b一定要是正數(shù)嗎？

生15：a，b都為零，或者a，b中有一個為零，不等式也成立．

師：這就是我們今天要學習的基本不等式(板書課題)．

同學們，這個不等式之所以稱為基本不等式，是因為它有著明確的數(shù)學意義，而且應用非常廣泛．不等式中的a，b只能表示數(shù)字嗎？表示代數(shù)式行不行？

生16：可以是代數(shù)式，但是必須大于或等于零．

師：你能不能舉個例子？

師：很好！基本不等式還有很多變式，我們下節(jié)課會繼續(xù)研究．總結一下本節(jié)課，你有什么收獲？

生17：我們學習了基本不等式及基本不等式的四種證明方法，并從數(shù)和形兩個角度認識了基本不等式．

師：非常好！調整一下順序，就是“一二四四，”即：一個不等式、兩個認識角度、四種證明方法和數(shù)學研究的四個步驟．

師：布置兩道課后思考題：1)基本不等式能否推廣到n(n>1,n∈N*)個非負數(shù)的情形？2)趙爽弦圖和2002年國際數(shù)學家大會會標能否用今天學習的基本不等式給出解釋？

2 教學后的反思

如何讓學生經(jīng)歷一個真實的數(shù)學研究過程一直是我們探索的課題，“基本不等式”這節(jié)課的教學是一個很好的嘗試．

2.1 設計恰當?shù)膯栴}串，讓研究有載體

2.2 基于學情的修正完善，讓研究有根基

2.3 逐步實現(xiàn)命題精致化，讓研究有生長

2.4 運用現(xiàn)代教育技術，讓研究有抓手