優化問題設計 提升復習實效
——以蘇科版“數、式的概念及其運算”復習為例*

劉德水 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

復習課是初中數學教學中一個重要的課型，而復習課的問題設計是決定復習實效的重要環節．問題是數學的心臟，復習課中的問題是引領學生走向知識海洋的紐帶，通過一個個“問題串”促發學生的數學思考，啟迪學生的思維[1]．數學課堂教學本質是教師教與學生學的雙邊活動過程，復習課是在問題的引領下，學生自主探究、合作交流，教師引導點撥學生探索問題、解決問題，師生、生生互動形成知識網絡的過程．在這個過程中，問題扮演著非常重要的角色．毫不夸張地說，沒有問題就沒有教學，沒有有效的問題就沒有有效的復習實效．因此，一節數學復習課優劣的基本要素就是問題的設計，即“好的問題”是“好的復習課教學”的基礎．好問題能積極引發學生的數學思考，有利于落實基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的學習，使學生在發現和提出問題、分析和解決問題的能力上有所發展，幫助學生完善知識體系．

近期，筆者在蘇州市初三一輪復習研討活動上開設了一節“數、式的概念及其運算”復習研討課，現將這節課的教學分析、教學過程和教學思考整理成文，與同行交流．

1 教學分析

1.1 教材分析

從數學教學內容維度來看，數與式不僅是方程(組)、不等式(組)、函數等知識表達和運算的基礎，而且也是許多圖形問題中有關數量表達與計算的基礎．數的運算是式的基礎，式的運算是數的擴展．從數學思想方法維度來看，數與式所蘊含的思想方法如轉化思想、分類討論思想、數形結合思想、類比思想等對方程、不等式、函數的研究以及幾何圖形、概率等內容具有重要的指導意義．數與式內容中所滲透的數感和符號感也是理解方程和函數意義的本質及進行相關運用的基礎．

1.2 學情分析

本節課是對蘇科版“數與式”的整體復習．學生已經了解了數與式的概念，能熟練地進行數式運算，但是對數與式之間的橫向聯系、縱向關聯還不夠明晰，有必要對“數與式”之間的內在關系進一步明確．授課班級的學生基礎良好，有一定的問題意識和解決問題的能力，為實現課堂教學效益最大化奠定了基礎．

1.3 教學目標

能在提供的學習素材中提出問題；經歷發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的過程，感受類比、轉化、特殊與一般等數學思想方法，熟練掌握數、式的有關運算．

2 教學過程

2.1 實數與實數

問題1寫出4個數，并用這4個數編一道同級運算題．請分享你是如何運算的．

設計意圖呈現開放性問題，具有一定的挑戰性，有利于學生自由發揮，主動回顧舊知，提取計算經驗和喚醒記憶．可以恰當引導學生將書寫的實數進行分類，將實數的分類結構圖一起勾勒出來，為本節課后續“式”的邏輯關系的呈現與確立奠定基礎．

生：這4個數分別是整數3，3，3，6，可以算24點的式子有：

(1)3+3+3×6=24；

(2)(3+3)×3+6=24；

(3)(3÷3+3)×6=24；

(4)3×(3+6)-3=24；

(5)33-(6-3)=24；

設計意圖以不同的方式呈現“數”，將基礎計算技能滲透到問題解決過程中．學生用運算符號可以把數與數之間的關系表達出來，實數的四則混合運算實質就是表達了數與數之間的關系．這樣的設計意在通過一個小問題盡可能地融入更多的計算元素，將基礎知識和基本技能的復習效益最大化．

2.2 整式與整式

問題3(1)寫出幾個只含有字母x的單項式．

(2)寫出幾個只含有字母x的多項式(一次或者二次多項式)．

(3)寫出幾個只含有字母x，y的多項式(一次或者二次多項式)．

問題4請在整式x+3，2x+6，x-3，2x中選取兩個進行運算，使結果為最簡整式．

設計意圖本環節設計的這兩個自編問題，體現了“用字母表示數”由數到整式的發展過程．整式的加減實質就是合并“同類項”，整式的乘法是乘法分配律的應用，各種不同整式及整式之間的運算，體現學生的多角度的思維，將數與數的關系自然過渡到整式與整式的關系，使學生體會轉化思想、從一般到特殊再從特殊到一般的思想，不斷改進和優化解決問題的思路和方法，提高分析和解決數學問題的能力．

2.3 分式與分式

問題5請在整式x+3，2x+6，x-3，x2+6x+9中選取兩個組成分式，并將你組成的分式與同伴組成的分式進行運算，運算結果最好為分式．

學生進行小組合作交流后作答如下(選取一例)：

師：(追問)再取一個你喜歡的x值，算出代數式的結果．

生：取不是0,3或者-3的實數代入求值．

設計意圖呈現一道開放式的分式化簡題，在小組活動中培養學生提出問題、解決問題的能力．教學中要注重結構分析，強調運算順序.該問題的設計包含了分式的加減、乘除以及整式的因式分解；取值時，還考查了分式的有無意義問題.類比整式的概念及其運算，喚醒分式的概念及其運算，式的系列擴展添加了新成員“分式”．

2.4 根式與根式

(2)若x取3和6，則可進行兩個二次根式的乘除運算(此處省略)．

(3)也可取較為復雜的數或式進行運算(此處省略)．

設計意圖類比整式的概念及其運算.式的系列擴展又增加成員“根式”．

2.5 數與式

3 教學思考

好的問題是教師教和學生學的重要載體，是提高復習課實效的關鍵．一節復習課的實效如何關鍵在于問題的設計，好問題是一堂好復習課的必備條件．數學復習課如何優化問題設計？筆者認為好的問題設計要有指向性、開放性、傳承性、挑戰性和生長性．

3.1 問題設計要有指向性

復習課的問題設計要具有指向性，要能貼近學生的“最近發展區”，在知識的重難點處、學生困惑處設計問題，能啟發學生思維，豐富學生想象，提高其分析與解決問題的能力.如問題5的要求是用現有兩個整式組成分式并與其他分式進行運算(結果最好也為分式)，顯然此類問題創設能開啟學生的思維的閘門，引發學生的思考，完善自己的認知結構，在交流解決中使學生逐漸釋疑，將數學思維一步步引向深入．

3.2 問題設計要有開放性

復習課要注重設計具有開放性的問題，因為開放性問題更能還原數學知識的本來面貌，而且對學生思維的發展和提升有更大的幫助[2]．開放性問題有利于培養學生運用數學的意識與探索的精神，有利于培養學生良好的思維品質，能保障學生學習的主體地位，有利于全體學生的主動參與，有利于實現教學的民主性和合作性，有利于學生樹立信心、產生學習數學的興趣及提高學生解決問題的能力，可以讓不同層次的學生多層次、多角度地進行探索，從而做出不同層次的解答．本節課開放性的問題驅動設計比較多，如利用4個實數編寫同級運算題、分式的組成及分式的混合運算、根式下被開方數的取值并計算等，均對不同角度思考的學生給予了不同層次的認知發展．問題設計要體現《義務教育數學課程標準(2011年版)》的培養目標，即要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展[3]．

3.3 問題設計要有傳承性

復習課中，分析問題并探究解決方法是學生吸收知識，提高思維能力，形成有效教學的前提.問題應存在于整個教學過程中，應使教學活動自始至終圍繞問題的分析研究和解決展開．復習課問題在數學課堂上可采用小步走、漸進式、問題串的模式.問題設計也是多渠道的，可以是教師設計的問題，也可以是學生提出的問題，或者教材提供的問題，或與學生成長中匹配的最近發展區里的身邊的數學情境問題．比如問題7中實數、整式、分式、根式等和的運算問題，就是傳承了實數的運算，同單位的加法問題，只要認清本質“單位1”是誰，問題就迎刃而解．本課例圍繞從數到式的擴展及其之間關系展開，關系中有傳承，傳承中有發展．

3.4 問題設計要有挑戰性

復習課是在原有基礎上的總結和提升，因此要設計具有挑戰性的問題．學生面對挑戰時，積極、勇敢、自信的正面情緒一旦得到激發與保持，其思想火花將會更加精彩[4]．在數學新課程標準中有一條基本理念：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的．”認知心理學理論認為，學會真正的學習過程是認知結構不斷改造擴展的過程，而認知結構的改造與擴展必須通過學生親自與外部情境產生交互作用，發生思維活動，由此建立起自己對內容、意義的理解．挑戰性問題的實質在于激起學生強烈的思維活動，通過思維活動促進外部知識與內部認知結構之間產生實質性的互動，從而促進認知結構的不斷發展．本節課中數與式的結構進一步重新認識與確立，凡是數的問題解決，后面總有匹配的式的問題相對應；數的問題解決了，可以用解決“數”的問題方式嘗試解決“式”的各類問題，從數到式的不斷擴展與相互之間的關系不斷明晰的過程，就是一個不斷挑戰問題的過程．

3.5 問題設計要有生長性

復習課教學的最終結果不應僅僅是用所學知識解決問題，還應是在初步解決問題的基礎上產生新的問題，與解決新的問題的周期性的循環生長過程．在這個過程中，學生豐富了自己的認知，掌握了某些分析問題和解決問題的科學方法，發展了某些方面的能力．“授之以魚不如授之以漁”，在解決問題中，不斷設計或出現了為解決問題而出現的輔助問題，而這些輔助問題又是解決問題的基本或核心問題，這樣就形成了解決問題的問題鏈，由此逐步讓學生掌握數學問題的基本思路、基本方法、基本思想，逐漸養成解決數學問題的思維習慣，形成解決數學問題的能力．本課例始終有一條驅動線索一直貫穿其中，即“加減乘除”的系列運算，而參與運算的素材是不同類型的數和不同類型的式.在問題設計中，不斷嘗試體現類比、一般到特殊、特殊到一般、轉化等數學思想，發展學生觀察、歸納、類比、概括等能力，將多個問題變成一個問題，將多個類型變成一個類型，幫助學生掌握通性通法，從而提升復習實效．