談初中經驗上的高中數學教學設計
——以“探究三次函數的圖象與性質”為例*

劉 煒 (江蘇省蘇州中學 215006)

為落實立德樹人根本任務、發展素質教育，《普通高中數學課程標準(2017年版)》在課程目標中提出：學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗．事實上，杜威、勒溫、皮亞杰等教育家在各自的著作中均分別強調了經驗在學習中的重要作用．教學其實就是讓學生在原有經驗的基礎上，通過感性或理性的數學活動(觀察、操作、猜測、驗證、推理、交流、反思等)，實現對數學本質的理解和意義的建構，這個過程中又會積累更為豐富的數學活動經驗．這樣，不斷累積的基本經驗可以促進與催化數學思想的形成和數學素養的提升．

筆者曾提出要在高中觀念下進行初中數學教學設計[1]，事實上，高中階段更需要初中經驗的支持．理論上這是十分自然的事情，但是很多時候高中教師還是會將兩者割裂開來．因此，筆者提倡在教學實踐中貼近“初中經驗”去解決“高中問題”，以期更好地銜接初中與高中，發展學生的素養．

1 學情分析

函數是中學數學中的一個重要概念，是函數主線的基礎內容．學生在初中階段接受了初步的函數知識，掌握了一些簡單函數的表示法、性質、圖象；高中階段，學生將經歷函數概念的抽象、函數性質的研究、具體函數(冪函數、指數函數、對數函數、三角函數)的研究以及導數及其應用．

在新的課程標準背景下，“數學探究”活動再次向前推進，因為學者們認為在前一輪課程改革中數學建模與數學探究活動沒有得到落實[2]．數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題自主探究、學習的過程，包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明．事實上，人教社在編寫教材時充分考慮為學生提供數學探究的材料，因此出現了“拓廣探索”的問題．

例如，人教社A版數學必修第一冊的習題3.2“拓廣探索”提出的問題是：

函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數．

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論．

雖然此題僅僅研究三次函數的對稱性，但是應該也可以研究三次函數的單調性．在沒有導數的情況下如何研究，就是一個很好的“數學探究”課題．筆者認為，需要依托初中研究二次函數的數學活動經驗，探究三次函數的圖象與性質．以下分享本次探究教學的設計、實踐與反思．

2 教學實踐

2.1 教學階段一：探究函數對稱性

師：根據初中的研究，二次函數的圖象是拋物線，是軸對稱圖形．那么三次函數的圖象是否也有某種對稱性？

生1：有的．

師：為什么？

生1：一般老師這么問，都是有的．

師：我很欣賞你的誠實與敏銳，但是否真的有，還需要去探究．我們來看教材上的問題(求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心)，你們有什么計劃？(學生思考)

師：題目提供的想法是，通過變換將函數變成奇函數，從而可以確定對稱中心．類比二次函數的圖象可以平移成關于y軸對稱，請回憶一下，關于y軸對稱的二次函數是什么樣的？

生2：y=x2．

師：這只是一個代表．能找出所有的嗎？

生2：y=ax2+bx+c．

師：很好！那么就要觀察，一般的二次函數是如何變換到這個形式的？

師：這是很好的經驗，對于三次函數首先要找到三次的奇函數，然后再變換得到一般的三次函數．

生2：三次的奇函數的一般形式可以類似二次函數寫為y=Ax3+Bx．

師：好了，可以根據如上經驗，將f(x)=x3-3x2變換成y=Ax3+Bx.

(學生實踐，教師巡視，投影并修正學生的 過程)

師：如此這般再來一次，應該也可以得到一般三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的對稱中心．

設計意圖二次函數的圖象是軸對稱圖形，根據其頂點式可直接觀察出其對稱軸，即可以通過偶的二次函數變換得到；類似地，如果三次函數是中心對稱圖形，那么應該可以根據奇的三次函數平移得到．如此類比，可以用待定系數法來確定系數，最終探究出三次函數圖象的對稱中心．事實上，三次函數圖象的對稱性還可以使用“中心對稱”的定義，利用恒成立之下的系數對應相等建立方程組求解．相較而言，使用定義的方法比較“刻板”，而使用類比的方法比較“鮮活”，不但鞏固了奇偶性的概念而且應用了圖象的變換，同時還實踐了類比的推理活動．

2.2 教學階段二：探究函數單調性

師：教材中我們對于函數單調性的研究很多都是結合函數圖象實現的，但是我們對三次函數的圖象暫時不是很了解，該如何研究呢？例如，試討論三次函數f(x)=x3-3x2的單調性．

學生提出了很多做法，提出用幾何畫板或GGB畫出函數的圖象，再用單調性來定義，也有提出利用導數的方法可以判定函數的單調性．

師：剛才大家提到的方法都很好，比如說數學軟件所畫圖象的理論基礎是對函數性質的研究．導數的確是很好的研究函數單調性的工具，它應該也有其理論基礎，另外，大多數同學還沒有深入研究導數，所以能否借鑒研究對稱中心的方式來探究呢？

學生沉默，感覺沒有什么方向．

師：我們對二次函數十分熟悉，請問一下二次函數的單調性在哪里發生變化呢？

生4：在頂點處．

師：正確！三次函數有頂點嗎？那你說說看，從代數角度上什么叫做頂點？

生4：感覺過頂點可以作一條水平線與函數圖象相切．

師：結合二次函數的圖象，說明“重根”使得函數的單調性發生改變，那我們可以猜測三次函數的單調性如何？

生5：猜測f(x)=x3-3x2的單調增區間為(-∞,0)和(2,+∞)，單調減區間為(0,2)．

師：我們“猜”到了單調區間，如何驗證正確與否？

生5：利用單調性的定義加以證明．

師：的確，猜測是一種感性的推理活動，還需要更為理性的證明．對于具體函數，我們探究了其單調性，如何延拓到一般的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d呢？請學生如法炮制．

設計意圖對二次函數可以通過配方找到單調性變化的點，如果把這種配方理解為“重根”，就可以將對二次函數單調性的研究借鑒到三次函數研究中，這是有創造性的，也就是找到了“類比”最本質的屬性，由此開展了合情推理．如果一開始就抽象地解決一般問題，學生會因眾多字母而困擾，由此選擇從具體函數入手找到可行方法，再將其推廣到一般表示形式，讓學生在“零起點”的狀態下不受字母的干擾找到“關鍵點”，從而實現探究的目的，培養學生的邏輯推理能力．

2.3 教學階段三：比較二次函數與三次函數的性質

根據初中對二次函數圖象的描述與高中階段對性質的研究，可以得到：

二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)對稱性對稱軸x=-b2a單調性a>0a<0單調遞減區間-∞,-b2a 單調遞增區間-b2a,+∞ 單調遞增區間-∞,-b2a 單調遞減區間-b2a,+∞

類比二次函數，可以總結出三次函數的圖象與性質：

三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)對稱性對稱中心-b3a,2b3-9abc27a2+d 單調性判別方程3ax2+2bx+c=0首項系數a>0a<0判別方程無解或兩個相等的實數根單調遞增區間(-∞,+∞)無單調遞減區間單調遞減區間(-∞,+∞)無單調遞增區間判別方程有兩個不等的實數根,記為x1,x2,且x1

設計意圖觀察到兩個或兩類事物在許多屬性上都相同，便推出它們在其他屬性上也相同，這就是類比法[3]，也就是參考一個事物的已知屬性去推斷另一事物也具有相同的屬性，即用我們經驗過的東西去推斷未曾經驗的東西．這樣的推斷不一定正確，但是可以“通過偶然認識必然，通過必然解釋偶然”(史寧中語)．也正是這樣的“大跨度”的想象，才能推動問題的發展，然后再用嚴密的邏輯加以證明，從而真正接近數學的本質．

3 教學反思

“經驗之塔”理論關于學生經驗發展的抽象性逐漸升級的層次結構的本質揭示，啟示了數學教學提供的數學活動的安排和展開，應該盡可能遵從學生經驗的獲得過程，即“直接經驗—經驗的映像性表象—經驗的符號性表象”的過程．相應地，教師提供的數學活動任務以及蘊含數學活動任務的情境也應該按照從具體到抽象、從實物到映像、從感官參與到思維對符號的參與轉化的層級演變的邏輯順序呈現．[4]因此，在教學過程中要分清可能出現的情況并且選擇合適的情境，從而實現經驗的跨越．

雖然數學不是經驗科學也不是實驗科學，但數學概念的形成依賴于經驗的抽象，數學推理的過程依賴于直覺的思維．因此經驗的積累，特別是思維經驗和實踐經驗的積累，對學習數學是至關重要的．學習數學的要義不僅僅是為了“記住”一些東西，甚至不僅僅是為了掌握一些“會計算”“會證明”的技巧，而是能夠“感悟”數學所要研究問題的本質，“理解”命題之間的邏輯關系，在“感悟”和“理解”的基礎上學會思考，最終形成數學的直覺和數學的思維．[5]因此在教學中，不僅要讓學生累積基本活動經驗，還要讓學生的基本活動經驗能夠引領數學的學習活動．

誠然，中學的知識體系是確定的，呈現方式是嚴謹的，可以培養數學嚴密的邏輯，但多少少了點“活潑”．《普通高中數學課程標準(2017年版)》也試圖從舊的體系中跳脫出來.由此，我們可以在教學過程中“多一些猜想，少一些刻板”“多一些類比，少一些嚴肅”，讓數學更加鮮活地呈現在廣大學生面前，讓他們的數學思維活躍起來，數學經驗豐富起來，最終把數學素養培養起來，這就回歸了教育的本意：教育之所以是教育而不是訓練，就在于它有“美麗的風險”[6]．