思維異構在解題教學中的有效利用
——“公式法解一元二次方程”的實錄與感悟

顧彩梅 (浙江省杭州外國語學校 310023)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“數學思考是數學教學中最有價值的行為，這種思考是‘運用數學的思維方式進行的思考’，因此義務教育階段數學課程進行的全過程，都應該注意培養學生的數學思維.”如何擁有數學思維？解題是首要途徑.解題思維異構是指在解題教學中，通過適切的載體、靈動的處理讓學生充分聯想與問題有密切關聯的事實和條件，多角度、多層次地尋求解決問題的方法，充分思考問題的關聯發展方向，產生新的想法[1].解題思維異構擯棄了依賴記憶與模仿的思維固有化模式，借助教師在課堂上對不同數學思維的捕捉和開發，讓學生在問題的解決過程中不斷思考、不斷創新，從而實現從簡單學習向深度學習的過渡.本文以一道中考題的解法教學為例，就解題思維異構在課堂教學中的有效利用，談一些粗淺的看法.

1 題目呈現

如圖1，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于G，F兩點.若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長為( )

圖1

本題是2017年寧波市中考數學試題第11題，此題出現在筆者執教九年級學生的中考復習用書上.本題數學思維的起點低、入口寬，從不同角度切入的解題思路都是培養學生數學思維的有效路徑，教師幫助學生分析、解決問題的過程就是教思維的過程，也是深度教學發生的過程.

2 多角度思維異構

在學生充分理解題目的基礎上，教師提問.

師：你能根據已知條件初步得到哪些結論？

生1：利用矩形和等腰直角三角形的性質，除了MN，其他線段都會算.

師：你覺得題目中哪個條件比較重要？或者你見過有類似條件的相關題目嗎？

生1：由線段中點，我想到三角形的中位線(思維捕捉1)，但觀察圖形發現找不到MN為中位線的三角形，我想試試把線段MN轉移.

師：這是個不錯的想法.大家可以一起想想，如何構造三角形的中位線？

圖2

師：這位同學的類比遷移用得非常好，把你的方法動手做做看.

生3：中點讓我聯想到直角三角形斜邊上的中線(思維捕捉2)，我想去找與MN相關的直角三角形.

師：這也是個不錯的想法，圖中哪里有直角呢？找找看.

生4：MF⊥GD，所以△FMB是直角三角形.

生5：△EMC好像也是直角三角形，而且EM=AM=MC.

師：那如何說明∠EMC是直角呢，看看EM=AM=MC這個條件能不能幫到你.

生6：中點讓我聯想到了之前用過很多次的倍長中線法(思維捕捉3)，我想試試倍長任一經過中點M的線段看看.

師：你覺得倍長的線段與MN是不是要有一定關聯？如果是，找哪一條比較合適？

生7：我想直接建立直角坐標系(思維捕捉4)來計算線段長度.

師：哇，這個想法很不一般啊，幾何問題代數化，這是高中解析幾何的思想，算算看.

師：試著驗證一下你的猜想.

教師將學生以不同的思維路徑分組，經過交流、討論，共同建構以下解題思路：構造三角形的中位線、構造直角三角形、倍長經過中點的線段、解直角三角形(一般三角形)、建立直角坐標系解決問題.

3 思維異構下的解法展示

思路1 構造中位線

圖3 圖4

思路2 構造直角三角形

圖5 圖6

思路3 倍長經過中點的線段

思路4 解直角三角形

圖7 圖8

思路5 建立直角坐標系.

圖9 圖10

4 小結交流

波利亞倡導解題之后要回顧檢驗，用不同方法推導結果，力求多法歸一.那么以上不同思路下的解題方法，對以后解決新問題有什么幫助呢？教師引導學生總結有關“線段中點問題”的常用解法：倍長經過中點的線段、構造直角三角形斜邊上的中線、構造三角形的中位線.

小結之后，學生提出這樣一個問題：如果把條件改為“M，N分別是GD，EC的三等分點”，問題怎么解決？教師鼓勵學生去思考，以上哪些方法仍然適用、又有哪些新的方法，再進一步鼓勵他們去構造變式，提出問題并嘗試解決.

5 教后反思

(1)解題思維異構要在過程中充分發生

為了提高解題能力，學生往往會自主采取多看多做的辦法，教師也會選擇多講和讓學生多練的方式.這種以求通過量的突破來達到質的飛躍的思想長期禁錮著教室里的學生和老師.究其背后的原因，筆者發現，學生在遇到困難時一般都是被動地接受解題思路，以看懂標準答案和聽懂教師講解為目標，很少去經歷“知其所以然，何由以知其所以然”的過程.數學思維的培養不是一蹴而就的，它具有整體性、階段性、連續性等特征，要在數學學習的過程中給學生足夠的時間和空間思考，這種過程性的進展不能快進，更不能跳過.

(2)解題思維異構要重視學生在學習中的主體地位

教育的本質是使學生得到全面的發展，掌握知識技能、感悟數學思想、養成良好習慣、健全完善人格，要使學生獲得這樣全面的發展，必須落實學生的主體地位.學生成為學習主體的重要標志是他們積極參與各種教學活動，這種“活動”不僅包括外顯行為、可觀察的活動(如操作、實驗、討論、交流等)，而且也包括學生積極的思維活動.教師要少“講授”、多“傾聽”，讓學生中不同個體所產生的差異性思維充分暴露在探究問題的過程中，保護他們的創造性想法，肯定他們在思維上的主動性和積極性.

(3)解題思維異構要借助教師的有效提問

教師在課堂教學中的主導作用突出地表現為對學生學習活動的“引導”，這種引導往往借助于課堂的提問，學生在問題的引導下可以開展積極的思維活動.教師設計問題，要從學生的實際(已有的知識結構、生活經驗等)出發，由淺入深、階梯式地逐步帶著學生走向思維的深處.提出的問題要讓學生有東西可想、想得出，逐步走向思維的不同領域.解題思維的異構體現在問題思考的寬度、廣度和深度上，在解決問題的過程中只有那些觸及思維底部且基于理解之上更多關注本質、關聯、創造的高階思維才能有效發展學生的數學素養.

(4)解題思維異構有助于深度教學真正發生

解題思維異構是思維的一種方式，這種思維方式的建構有助于深度教學的實施.思維異構為主的課堂教學獲得的不僅有題目解答，更有思維過程.學生在原有知識脈絡的基礎上，建構知識間的有機聯系，多層次、全方位地理解數學問題，厘清思維過程中的結點，聯接思維中的斷點，從而獲得解決問題的多種有效思維，這是深度教學真正發生的體現.深度是觸及知識底部和本質的程度，解題思維異構推動著教師的深度教學，有助于學生深度學習和促進核心素養的真正落實.