數學核心素養的“核心”與培養路徑之探*

曲 政 (廣東省廣州市華南師范大學附屬中學 510006)

王海青 (廣東省惠州市惠州學院數學與統計學院 516007)

1 問題的提出

2016年9月13日，中國學生發展核心素養研究成果發布會在北京師范大學舉行．《中國學生發展核心素養》總體框架[1](如圖1)以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面．綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，具體細化為國家認同等十八個基本要點．

圖1

有關中國學生發展核心素養的討論已成為當前教育領域的熱點話題．[2-3]學生發展核心素養需要落實到學科教育教學中才能得以養成，而各個學科核心素養的界定及其內涵表述還多有爭論，專家學者們各有見地[4-7]．以基礎教育數學學科為例，《義務教育數學課程標準(2011年版)》[8]將數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識作為義務教育階段數學課程的10個核心素養．《普通高中數學課程標準(2017年版)》[9]確定了高中階段數學課程的6個核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析．當前國際數學學習測評項目也都聚焦于反映社會所需要的數學素養問題．[10]但關于數學核心素養的概念界定、內涵與構成、培養途徑以及評價體系等的討論仍方興未艾、爭鳴不斷．[6-7,11-14]

2 數學核心素養的“核心”

數學是現代人的基本素質，它培養人的優秀品質，教人思維、提升審美能力并促進人的終身發展．[15]數學核心素養的內涵非常豐富，以至引起了廣泛的關注和討論，各家意見不一．盡管如此，有關數學核心素養的觀點在以下幾個方面還是基本一致的．

2.1 數學核心素養體現在思考問題的方式上

國際學生評價項目(PISA)將數學素養界定為“一種個人能力，包括能夠識別并理解數學在世界中起的作用，作出有理有據的數學判斷，作為一個積極、熱心、反思的公民會使用數學并參與其中，以滿足個人生活的需要．”[7]牛津學習中心認為數學素養是一種理解數學“語言”的能力，包括解決真實世界問題、推理和分析信息的能力．[16]通俗地講，數學核心素養的本質正如國內學者所言：“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界．”[17]

因此，數學素養是人經過數學教育后所形成的一種數學思維方式或習慣，體現在對問題的不同思考方式和解決方法上．數學“能夠促進學生的學習態度、思維習慣、思維模式、思維策略等的發展，讓每個學生面對全新的情境都能作出適當的回應”．[18]人們期望通過數學的學習訓練具備數學的理性精神與思維去認識世界和改造世界，能用數學的思想方法解決現實世界中的問題．

2.2 數學核心素養包含數學能力與思維、情感態度和價值觀

張奠宙先生將數學的核心素養分為“真、善、美”三個維度，即：理解理性數學文明的文化價值，體會數學真理的嚴謹性與精確性；具備用數學思想方法分析和解決問題的基本能力；能夠欣賞數學智慧之美，喜歡數學和熱愛數學．[19]這與“掌握數學知識，形成基本數學技能，發展數學能力，訓練數學思維，掌握數學工具，領悟數學精神，傳承數學文化”[20]是數學教育價值所在的觀點一致．有研究強調“數學核心素養是指數學學科的思維品質和關鍵能力”[21]．也有觀點認為“數學核心素養是數學情感態度價值觀、數學知識、數學能力的綜合體現”．[13]蔡金法與徐斌艷聚焦人才培養的目標提出了數學核心素養應包括“數學交流、數學建模、數學智能計算思維、數學情感”[7]．國外一些研究從能力角度提出數學核心素養包括數學思維能力、表征能力、符號和形式化能力、交流能力、建模能力、數學題處理能力等[22]．

可見，數學的核心素養除了數學能力與思維，還包含對數學的情感態度與價值觀．知識是思維的載體，數學家的研究精神、研究方法及數學的思想承載在具體的數學知識之上．因此，數學思想方法的獲得必須以基礎知識與基本技能為前提，并在這個過程中體驗數學思想方法的形成過程，認識數學學科在解決現實問題、刻畫現實世界中不可替代的作用，逐步形成對數學的積極的情感態度和價值觀念．

2.3 數學核心素養的關鍵是數學思維

從前面對數學核心素養的內涵剖析來看，數學思維是數學核心素養的關鍵．有研究依據知識的形態將數學核心素養分為“知識的理解、知識的遷移和知識創新”[14]三種水平，這突出體現了數學思維是重要的素養成分及其在數學學習中的重要性．強調數學思維的核心作用也已成為國際數學學習測評的趨勢之一．學習測評結構以“數學知識(技能)—數學應用—數學推理”[10]為主，引導學生運用數學知識解決生活中的實際問題，重點考查學生的數學探索和思考能力，強調數學應用意識的形成．

因此，數學教學的本質是通過具體知識的學習揭示數學的實質——數學的研究精神、思想方法與數學結構，是在解決問題的過程中“幫助學生學會數學地思維”[23]，即數學教學應該講清楚知識的來龍去脈、豐富的內涵和廣泛的應用性，及其背后的精神實質和思想方法．數學教師需關注教學是否促進了學生積極地去思考并且思維變得愈加清晰和深廣，而不應拘泥于教學的模式．也就是說，高水平的數學教學是教師通過具體知識的教學揭示其中的隱性知識——數學的本質、過程、思想和結構．[24]

3 數學核心素養的生長點與培養途徑

3.1 數學核心素養的教學生長點

學生的數學核心素養需在學習數學知識和解決問題的過程中逐步形成．而數學本身就是在解決各種各樣的現實問題和自身邏輯問題的過程中形成和發展的，其重要的概念和原理都有一定的問題背景．數學的核心問題與概念是數學核心素養的生長點，是數學主要的知識載體．[12]數學知識的深入學習需要對數學核心概念作全面理解，問題解決能力的提升需要有核心問題的引領．

數學來源于現實又運用于現實．要使學生能用數學的眼光及思維方法審視和解決生活中的問題，就需要教師將數學的概念或原理寓于現實情境中，并引領學生在情境中抽象出數學概念、數學問題或模型，從現實世界過渡到數學世界．進一步地，多角度、多層次地解釋概念，或利用不同的方法解決問題獲得原理，并在實際運用中鞏固和深化概念與原理．也就是說，培養數學核心素養，教師需要以數學核心問題和核心概念為媒介，幫助學生經歷從現實世界到數學世界再到現實世界的“數學化”過程．[11]學生通過數學化的學習活動習得數學思維方式、關鍵能力和數學品格．

3.2 數學核心素養的培養途徑

從前面的分析可知，數學核心素養包含數學能力與思維、情感態度和價值觀等，主要體現在思考問題的方式上，其關鍵是數學思維．為了發展學生的數學核心素養，需將數學核心問題與數學核心概念寓于適當的現實情境中，借助信息技術引導學生經歷“數學探究”活動和“數學建模”過程．正因為如此，《普通高中數學課程標準(2017年版)》提倡高中數學教學要通過“數學探究”實施“數學建模”活動并將“數學文化”融入其中，以培養學生的數學思維品質、應用意識與數學精神．

(1)重視數學探究活動與信息技術的有機結合

數學探究是一種重要的教學與學習方式，有助于學生了解數學概念和結論的產生過程，有助于培養學生的質疑、反駁與反思能力，形成數學思想與方法，真正提高數學核心素養．探究的過程也是數學的再發現過程，是學生自己在教師引導下對數學知識的“再創造”．為了給學生提供合適的探究環境，教師需依據對教學內容的深入理解，結合學生的實際對教材進行“再創造”，以便于學生經歷和體驗“做數學”“發現數學”的過程．

信息技術是促進數學探究教學的有效手段，它與數學課堂的有機整合有助于數學探究活動的開展．借助信息技術，能有效地處理傳統課堂教學難以呈現出來的數學內容，使許多探究成為可能，同時也可增加課堂的趣味性與知識的直觀性，提升學生的直觀想象與數學抽象能力．

(2)重視讓學生經歷數學建模的過程

傳統的數學知識大都從生活世界、自然科學或數學內部產生，其產生的背景問題具有生活價值、科學價值或數學價值，應成為教學的起點．且數學應用是當今數學發展的主要特征，它與其他學科的聯系越來越緊密．所以“發展學生的數學應用意識”應當貫穿教學的始終，而“數學建模”是落實這一基本理念的有效途徑．

數學建模的首要步驟是從現實情境中提出有價值的數學問題或模型，再用數學知識與方法去解決問題，并用所得的結論去解釋現實世界．數學建模能力被認為是“能夠在給出的現實世界中識別問題、變量或者提出假設，然后將它們翻譯成數學問題加以解決，緊接著聯系現實問題去解釋和檢驗數學問題解答的有效性”[25]．圖2的建模流程循環模型[26]體現了數學的符號世界與周圍的現實世界之間的密切關系及其相互之間的轉化步驟．

圖2

在中學實施“數學建模”活動或在具體的教學中滲透建模的思想，其步驟與復雜性要比圖2簡單許多，基本要經歷“將情境問題表述為數學問題，用數學的思想方法得出數學結果，再用數學的結果解釋情境”的完整過程，步驟如圖3．數學建模的過程也是學生經歷由具體情境到“數學化”的抽象再到具體的現實世界的教學組織過程．從現實世界→數學世界→現實世界，教學實現了“數學化”與“生活化”的有機統一．學生在解決實際問題的過程中習得相應的數學思想與方法，發展數學的應用意識，并且體驗數學與日常生活及其他學科之間的緊密聯系，感受數學的廣泛應用性．

圖3

(3)重視數學文化對學生的浸潤

數學是人類文化的重要組成部分．學生要通過涉獵數學文化內容了解數學與社會發展之間的相互聯系和對社會發展的作用，體會數學的科學價值、應用價值與人文價值．普通高中數學課程標準要求教師盡可能結合高中數學課程的內容，向學生介紹一些在數學與人類發展史上起到重要作用的人物與史實，讓學生認識數學的規律與作用，體會數學的精神與思想．

但數學史料或材料不等于數學文化．何謂“數學文化”？不同的哲學家、數學家或數學教育學家的看法不盡相同，目前還沒有確定的定義．通俗地講，數學的歷史、具體內容或結論是科學知識或哲學知識，而要回答“為什么研究、有什么用、怎樣研究”這幾個問題就隱含了數學的文化內涵．這些問題的答案蘊含了數學的價值、思想與方法，也是教師進行教材解讀與教學設計需回答的問題．因此，教師要在教學中滲透數學文化及相應的數學思想，需從數學史中挖掘知識的背景和數學本質，而不僅僅是介紹數學史料．

4 對數學教師的要求

數學思維的培養是一個長期的過程，教師需要通過“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)與“四能”(從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)的訓練來促進學生數學核心素養的養成．“四基”與“四能”的獲得是一個漸進的過程，教學應突出強調以核心概念和核心問題為載體，通過建模讓學生在經歷“數學化”的過程中習得數學的思想方法、體驗數學的價值和魅力．要做到這些，對數學教師也提出了很高的要求．

4.1 教師需具備整體的教學觀

為了實現數學核心素養的教育目標，教師要轉變教學觀念，那種以“課時”為中心、按照每節課或每個知識點去設計教學的方式不能再延續下去．備課時需從數學學科的整體架構與數學教學的整體目標入手，界定哪些是核心概念與核心問題，并揭示蘊含其中的思想方法、價值及數學家精神等文化內涵，由此進行合適的教學設計．應把具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計，并創設適當的問題情境，這樣才能把握數學知識的本質、設計并實施合理的教學活動．[17]

4.2 要重視知識點在數學內部與其他學科之間的關系

培養學生的數學核心素養就是要教學生學會“數學地”思考問題，用數學的眼光看世界，提升數學建模能力與應用意識．教學在強調數學知識的完整性、邏輯性以及具體課時重點的同時，也應注重知識點之間、信息源之間的關聯性，體現數學學科的廣闊性．這也正是加拿大學者西蒙斯提出的“關聯主義”[27]，注重知識與學科間的關聯，才能真正把握數學學科的系統．這就要求教師不僅僅只是會解題或知道具體的一個個知識點，而是要理解具體的知識點在數學的整體結構中的地位與作用，要“了解數學整體架構，引導學生更深刻地理解數學”[28]．

4.3 要強調以問題驅動數學教學

哈爾莫斯直言：問題是數學的心臟，學習數學唯一的方法就是做數學．“做數學”就是一個解決問題的過程，這里的問題顯然不僅僅是數學問題，還包含各種各樣的現實問題．新知識的獲得要盡可能地聯系現實，讓學生體驗到數學來源于實際又應用于實際，并在解決問題的過程中習得數學的思想與方法，促成數學思維和應用意識的提升．因此，數學教學應該創設恰當的問題情境，為學生提供探究的環境，然后教師引導學生發現和提出問題，并圍繞“問題”探尋解決的思路與方法，進而獲得數學的概念與原理．

4.4 需對數學發展的歷史有基本的了解

歌德說：“一門科學的歷史就是這門科學本身．”數學史記載著每個時期產生的問題序列與解決過程，呈現了數學知識與思想的發生、發展過程．因此，數學教師需對數學的歷史發展脈絡有整體的理解和認識，通過數學史了解數學各分支的產生背景和整體結構、數學內部各知識之間的聯系、數學與其他學科的聯系．依據歷史，結合學生的實際才能對數學教材進行恰當的“再創造”，以便創設真實有效的問題情境展開教學．