例題與習題的關系
——以人教版“有理數”為例

林鳳嬌 (天津師范大學教育學部 300387)

1 引言

教材是學生從小接觸的事物，可以簡單地把數學教材分為三部分：正文、例題和習題．在初中數學的教學中，大多數教師都傾向于例題教學，這也足以說明例題的重要性．然而，例題和習題都是數學題，為什么有的題可供數學教師在課堂上一步一步地講解示范給學生，有的題得讓學生課后單獨完成？本文從例題和習題的功能出發，來探尋例題和習題之間的關系．

2 例題與習題

2.1 例題的功能

例題的功能有基礎性、精簡性、典型性、示范性與代表性等．在數學教學過程中，例題起著舉足輕重的作用.例題所放的位置可以在知識點前，這時它發揮著帶領學生學習新知識的作用．例題所放的位置也可以在知識點后，此時它對鞏固所學的新知識發揮了很大的作用．例題必須精挑細選又有著代表性，還能很好地起到示范作用．波利亞在《怎樣解題》中曾提到：未來的數學家通過模仿和練習來學習．[1]所以例題的示范性尤為重要，典型的例題可以讓學生更好地掌握剛學習的知識點．因此需要充分利用教科書例題的示范引領功能，盡最大可能發揮其潛在價值，力爭做到以例啟思、以例促思、以例帶類，舉一反三，觸類旁通，達到對知識的深化理解．[2]

2.2 習題的功能

習題具有鞏固性、多樣性、層次性、靈活性和評價性．教材中的習題應具有鞏固功能．初中數學教材的習題中的一部分會作為學生課后的作業，而課后作業的練習可以促進學生對新知識的掌握和理解，以達到復習的目的．因此，初中數學教材中的習題應幫助學生復習回憶所學的新知識，起到鞏固新知的作用．習題的題型也是更加多樣、靈活以及有層次．習題由淺到深、由簡到繁，有基礎題目，也有擴展提高題．習題還有著評價功能，數學教材中的習題作為課后作業布置時，學生可以通過習題的練習及時發現自己還存在的問題，教師也可以通過習題完成的反饋情況了解學生的學習情況．學生通過數學教材中的習題的自我評價自行調整學習狀態，教師也可以通過習題的反饋進行教學評價，及時調整教學策略．

2.3 例題與習題的關系

2.3.1 包含關系

《現代漢語大辭典》中對“例題”的表述為：說明某一定理、定律或幫助學習的人掌握某一公式而設的作為范例的習題．由這句話可知，例題也是習題的一種，是在眾多習題中精選出來的，所以說習題是包含例題的(圖1)．

圖1 例題與習題的包含關系

例題和習題都是為了學生更好地掌握一個知識點或概念而出現的．比如小學所學的偶數的概念，這個概念的內涵就是在整數中，能被2整除的數，也就是2的倍數2n．而偶數概念的外延就是2,4,6,8,26,…．再如，一元二次方程這個概念的內涵是ax2+bx+c(a≠0)，那么一元二次方程的外延是一切形如ax2+bx+c(a≠0)的式子．概念的內涵與外延之間存在一個反變關系．這種反變關系通俗易懂地講就是概念的內涵小，那么概念的外延就大；概念的內涵大的，那么此概念的外延就比較小.就如平行四邊形和四邊形，平行四邊形的概念內涵比四邊形的概念內涵大，那么平行四邊形的概念外延就比四邊形的概念外延小．再回到例題與習題的包含關系上，可以這么理解，習題涉及的這個知識點或是概念的外延很大，但是上課無法永遠窮盡，所以在有無限外延的習題當中挑選了具有代表性的這個概念的外延，也就是所說的例題．

人民教育出版社(以下簡稱人教版)2012年出版的初一教材第1章第1節給出了負數的概念：在正數前加上符號“-”(負)的數叫做負數．這也是負數概念的內涵，后面舉的例題是：(1)一個月內，小明體重增加2 kg，小華體重減少1 kg，小強體重無變化，寫出他們這個月的體重增長值；(2)某年，下列國家的商品進出口總額比上年的變化情況……這道例題是在綜合考量學生對負數、正數和0的掌握．后面的習題有全國平均降水量、物體的正負移動、走路的東西方向、水位的升降和氣溫的變化等，由此無不看出，習題的范圍比例題的范圍更廣．

2.3.2 補充關系

習題是例題的補充.一節課就45分鐘，不可能滿本教材全是例題，都讓教師在課堂上講解．正如《學記》里第七段所提及的：大學之教也，時教必有正業，退息必有居學．意思大致是大學的教學組織形式是：按時進行正課教學，課后從事課外作業．也如陸佃所說：“居學，言退息之所學也．”[3]不得不說，古人的想法極富智慧，而且也適合于現如今的一些教育現象．習題是例題的補充，讓學生有更多時間來鞏固自己在課堂上的所學的新知識．

例如，在有理數的加法第1章第3節中，通過物體先后運動的一個數學問題，總結出有理數加法法則有3條：法則一是同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；法則二是絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0；法則三是一個數同0相加，仍得這個數．教師和學生一起總結完這些法則，下面緊跟著一道例題，包含兩個小題：第一道是(-3)+(-9)；第二道是(-4.7)+3.9．可以看到這兩道例題緊扣法則一和法則二，很有代表性．細看似乎漏掉了什么，比如同號的兩數還有一種情況是都是正數；異號的兩數也有正數大于負數的情況；互為相反數的兩個數的加法和一個數與0的加法在例題中也未體現．但是在下面緊跟的練習題第二道中出現：(1)(-4)+(-6)；(2)4+(-6)；(3)(-4)+6；(4)(-4)+4；(5)(-4)+14；(6)(-14)+4；(7)6+(-6)；(8)0+(-6)．顯而易見，習題對例題進行了很好的補充，除了正數和正數相加都涉及到了，這也體現了例題和習題的精簡性.例題當中的兩道小題都是選取了負數，能很好地鞏固負數知識，而不是選取兩個正數相加和一個大的正數減去一個小的負數，不然與小學低年級學習的數的加減法沒有差別，這也引起了學生的沖突認知.教師上課利用這兩道題能讓學生更好地掌握本課的難點，再加上我們的知識點，學生可以完滿地掌握本節的知識．同時，這也說明中學課本中的例題都經過認真篩選，都是數學中的“精品”，具有很強的典型性和代表性．

2.3.3 緊密關系

例題與習題必然是緊密相連、相輔相成的．就好比修建一棟大樓，這里的大樓可以看成學生和教師所使用的教材，那么一堂課所包含的知識點和例題不是常說的打地基，而要想把地基建得很牢固，是和習題緊密相關的，要用習題來對例題進行更好的鞏固，進而更好地掌握知識點，以便把基礎打扎實．后面再將知識與例題習題內化于心，在經歷周測、月考、期中考試和期末考試后，將知識點、例題和習題學以致用，逐漸地搭建成樓層．后面的大樓能否修建得好，取決于每一步是否足夠穩妥，是否將知識點、例題和習題完全掌握，它們貫穿于整個過程(圖2)．

(3)由于浮選金精礦產率較小，金、鉛浮選分離及鉛細磨浸出工藝生產成本增加有限，遠低于所獲鉛精礦以及金、銀增加回收率所增效益。針對日處理24 t的金浸出系統，半年可收回基建投資。

圖2 例題與習題的緊密關系

2.3.4 拔高關系

就如康德在《論教育學》中所談及的，學習規則的同時學會對它的應用[4]．一方面，習題幫助學生復習回憶所學的新知識，起到鞏固新知的作用．另一方面，習題也是例題的一個拔高，讓學生在學會一些基礎知識后，將其進行更高層次的運用，這也是根據學生的心理特征來的，先夯實基礎，再多層次地運用．從例題和習題在教材中所占的篇幅和數量關系來看，習題更是一個載體，提高學生的思維水平、培養學生的研究創新意識和慢慢地積淀數學素養．而且有些習題自身也是知識點，是對教材知識點的補充和延續．

例如，在人教版初一教材的有理數加法過渡到有理數的減法時，有一道實驗探究題“填幻方”．題目如下：

有人建議向火星發射如圖3的圖案，它叫作幻方，其中9個格子中的點數分別是1,2,3,4,5,6,7,8,9．每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數的和都是15．如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數學語言”了解到地球上也有智能生物(人)．你能將-4,-3,-1,0,1,2,3,4這9個數分別填入幻方的9個空格中，使得處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數相加都得0嗎？和同學交流一下，你們填這個幻方的方法相同嗎？

圖3 幻方

這道題很能吸引學生眼球，也能啟發他們的思維，讓其饒有趣味地運用有理數的加法法則二中互為相反數的兩個數的和為0，也能培養學生自主探究的意識和交流表達的能力．

2.3.5 服務關系

例題和習題是相互服務的，它們最終都是為知識點服務、為學生的發展服務、為教師的傳授服務．總而言之，最后的消費者是學生和教師．對于如何更好地做好服務，我們腦海里面肯定會冒出來一個念頭：首先質量要好，保質保量．選取的題必須要精，要能直擊教材所要求掌握的知識點或概念，需要很好地讓學生明白概念的內涵與外延．量要適度，每個知識點或概念的考查要適量，切忌出現一個知識點題太多而另一個知識點吃不飽的現象，這也是很考驗教材的編寫者．

(-5)×(-3)，……同號兩數相乘；

(-5)×(-3)=+( )，……得正；

5×3=15，……把絕對值相乘；

所以(-5)×(-3)=15．

又如，(-7)×4，……；

(-7)×4=-( )，……；

7×4=28，……；

所以(-7)×4=( )．

例題可以很好地為后面的習題服務，學生只有在掌握好例題之后，才能又快又準地解決習題．這也體現了例題的示范作用．例題和習題都能很好地為知識點服務，為使消費者(教師)更好地教、消費者(學生)更好地學(圖4)．

圖4 例題和習題與學生和教師的服務消費關系

3 建議

3.1 例題和習題應多讓學生提出問題

不論是例題還是習題，都可以把它們稱作數學問題．數學問題在學生學習和課堂教學中具有重要作用．學生所經歷的數學問題不僅決定著他們學什么，而且決定著他們如何思考、理解、發展和使用數學．[5]但是筆者現在所接觸的都是在讓學生解答已經給出的問題，而不是給出一些已知條件，讓學生來提出問題自己解答，或是小組一起解決．提出問題的高度也是學生整個思維或想法的呈現，能讓學生大膽地去想，因為后面要解答，所以也是有依據地想．這樣可以更好地發散學生思維，而不會將其束縛在給定的數學題中．這或許也會碰撞出想象不到的智慧．

3.2 例題和習題之間應注重變式

例題和習題都是為了讓學生更好地掌握知識點，但是知識點的考查有方方面面，如果例題永遠是正向的，習題也是正向的，那么長此下來勢必會加大學生的定勢思維．所以習題應該適當地作些變式，而不是簡單地換個數字或換個情境，要讓類型更多樣；也可以稍微地與考試接軌一下，讓學生覺得自己做習題有不一樣的收獲，而不是將學生推向一本又一本的練習冊、一張又一張的教案．總之，讓學生“吃透教材”，便會有滿滿的收獲．

3.3 例題和習題應更有針對性

眾所周知，學生的水平大多參差不齊，在實際教學中絕大部分習題往往是不區分學習能力以及學習成績的，大家都學習同樣的例題，都做著同樣的習題，缺乏例題和習題的針對性.例題和習題應體現教學的層次性．在數量上要有彈性，不搞一刀切，給學生一個自主選擇、協調發展的空間，讓不同層次的學生都獲得成功的體驗．在內容上要具有針對性：一要針對本節內容.二要針對不同層次的學生.可以在例題后面適當附帶能力要求高的思考題以滿足一些“吃不飽”學生的要求.三要針對學生的知識儲備，不能將例題習題演變成智力題．[6]

3.4 例題和習題應適當增加實踐活動題

現在的例題和習題大多數都還是在紙面上的，很少有讓初中生自己動手操作的題目、實踐活動的題目．曾經在文獻[7]中看到過這樣一個案例，這個例子來自凱莉·埃瑟里奇老師．她描述了一個關于10年級英國學生寫有關環境論文項目的情況．學生可以選擇他們研究的環境問題，但是必須展現出與他們所選問題相關的知識以及寫作技巧和交流技巧．在文章完成之后，學生們要運用他們所寫的文章中的知識去處理現實中的問題．一組對文學并沒有特殊的喜愛的男生，寫了有關水污染的問題．這些男生在小組內協商完選擇了一條在他們學校附近并被污染了的道格河作為目標．他們想出了一個解決方案并制定了計劃．隨后，他們獲得了當地報紙捐贈的一個價值3 400美元的廣告，以擴大人們對這個問題的關注．他們找到了一家咖啡廳，通過提供某種咖啡飲品來籌集資金．在學校放假兩周后——需要注意的是這已經是在完成學分課程之后——這些孩子和當地電視臺一起清理河道并向觀眾說明社區居民應該如何去做才能保證道格河未來不被污染．[7]當然，這在數學教材中不太適用，但是總說要提高學生的興趣，不能光從教師的教法入手，也要深入其源頭，從這個知識點、這個數學題自身出發．不得不說，這對教材編寫者是一個很大的考驗，但是一旦成功，會大大提高學生學習的自主性，因為這對學生來說已經不僅僅是一個任務，而是已經把它當做自己的事來完成．

3.5 例題和習題應以心理學知識為依據

數學是一門學科，當它由教師傳授給學生時就變成了一門教育學科．在學習教育時我們都知道人的發展是有階段性的，而這種階段性發展與心理學有很大的關聯．皮亞杰認為3～7歲的孩子處于前運算階段，需要靠具體形象來進行思維；7～12歲的孩子處在具體運算思維階段，可以進行一些邏輯推理，但還是要依靠具體的事物來進行思維；12～15歲的孩子處于形式運算階段．初中階段的孩子開始從直觀思維向抽象思維過渡．還有從什么時候開始孩子有了可逆思維、在什么時候發展得更加完善，這都是教材編寫者在例題習題編排的時候需要內化于心的．抓住思維發展的階段，也就是抓住了教育的關鍵期，在適當的時候給予學生合適的例題習題，這對掌握知識的作用不可估量．正如維果斯基提出的“最近發展區”理論，可以通過設置梯度遞進的例題和習題，來突破學生的每一個最近發展區．