高三數學教學中的“情境脈絡一體化”法
——以“直線與圓的位置關系(相交)”復習教學設計為例

李太敏 (江蘇省灌南縣教師發展中心 222500)

數學教學中，利用各種情境進行教學已形成共識.事實上，我們需要的不僅僅是現實的生活情境，更需要知識性問題情境.尤其在高三復習教學中，常見大容量、高密度的習題教學，教師講得頭頭是道，學生聽得津津有味，但效果有時卻大打折扣，甚至學生仍做不出講過的原題(尤其是難一些的題目).因何如此？其中一個重要的原因就在于教師所講的問題沒有形成問題情境，難以讓學生真正內化和同化，特別是題與題之間缺乏情境脈絡，無法形成一體化.

本文嘗試通過一體化情境的設計，力爭說明如何溝通問題與問題之間的聯系，從而達到一題帶動多題、一法帶動多題、個體帶動整體的目的．下面以省中小學教學研究第七期課題“新課程背景下中學數學課堂情境有效化實驗研究”活動研討會中，本人所執教的高三研討課“直線與圓的位置關系(相交)”復習教學設計來加以說明．

1 基本情況

本節的課題為“直線與圓的位置關系(相交)”復習．授課對象為四星級學校高三學生．聽課教師來自省教學研究第七期課題“新課程背景下中學數學課堂情境有效化實驗研究”的課題組成員，以及市、縣部分高三數學教師．

學情分析 活動所在學校雖然是一所四星級學校，但優質生源外流較多，學生基礎一般，尤其是計算能力薄弱、解析幾何水平一般．

2 教學過程

2.1 引出源問題

源問題情境是一體化設計之本，通過它產生的情境脈絡，或串或并，從而形成各種派生問題，可以聯通到各個方面．

師：同學們，大家都知道這樣一首古詩：

半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊．

問渠那得清如許，為有源頭活水來．

這是朱熹的《觀書有感》，那么請問，在高三的數學復習課中，教學的源頭在哪里？

生：源頭是老師．

生：源頭是高考題．

生：源頭是復習資料．

師：同學們說得都有道理，這是一個仁者見仁的問題，但老師認為高三復習教學的源頭在課本教材.這節課我們就通過一道課本習題的演變，來復習“直線與圓的位置關系(相交)”(板書課題)．下面請看蘇教版教材必修2第107頁的第1題：

源問題過點P(-3,-4)作直線l，當l的斜率為何值時，直線l與圓(x-1)2+(y+2)2=4相交，且所截得弦長為2？

師：下面請同學們用2分鐘時間做一下并自行聯想、整理、復習直線與圓位置關系的相關知識．

師：哪位同學做好了？請把思路說一下．

師：說得挺有道理又簡潔明了．

生：我要補充，應說明一下斜率不存在時的情況．

生：不需要，因為題中問“當l的斜率為何值時”，說明斜率已肯定存在．

2.2 引出派生題

·類比高考題

師：剛才兩位同學的回答合在一起已經很完善了，本題雖不需要討論，但其他題目的確需要防止遺漏對斜率的討論，這也需要像這位同學那樣做到警鐘長鳴．對于這個題目，也許有同學認為小菜一碟，但是2009年江蘇高考數學試題解答題第4題就是由這道題發展而來的，其中第(1)問是這樣的：

師：在高考中，數學解答題第4題的位置歷來具有舉足輕重的地位，做得順利，對考試就有了充分信心，有沖擊高分的希望；反之，則會有低分的后果．大家看看這題目，有信心了吧？

生(笑)：有信心．和剛才這道課本題實質一樣．

·引出逆命題

師：好的，現在大條件不變，把上面的第(1)問改成：

求證：若直線l1:13x-y+26=0和l2:x+13y-83=0，則直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等．

師：請大家思考一下，然后看誰能說明思路.

生(思考后)：和剛才的課本的那道題方法差不多，只要利用勾股定理，分別求出弦長即可．

師：抓住了問題的本質，能發現這兩條直線的位置關系嗎？

師：說得相當好，也就是說這里的k相當于常數.有誰還要補充的嗎？

生：這里應考慮斜率不存在的情況(恍然 大悟)．

說明由于所在學校的學生成績一般，因此沒有直接拋出高考題，而是設立一個梯度進行過渡，先解決高考題的逆命題．

2.3 引出主問題

解析幾何中，尤其是關于圓的問題中，常常是以平面幾何作為背景，因此利用平幾知識來解題有時會比較簡單，也體現了方法的優化，同時它也能成為這類問題中的一個共性情境脈胳，也可成為主問題．

·方法的優化

師(提出主問題)：剛才的問題是一個關于圓的問題，除了上述方法外，能用平面幾何方法試試嗎？在平面幾何中，常用什么方法來證明兩線段相等呢？(學生思考)

生(思考后)：常用對應的兩個三角形全等．分別作出弦心距C1Q1,C2Q2，只要證△Q1PC1≌△Q2PC2．

生(感嘆)：這方法簡單．

師：解析幾何的有些題目本身就是由平面幾何演變而來的.剛才這個題目大家已會做了，那么本問題的逆命題，大家能試試嗎？

·再現高考題

(2009年江蘇卷第18題第(2)問)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4．設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

師：能用平面幾何方法試試嗎？由剛才那個題目,我們能得到什么啟示呢？

師：在高考中，絕大部分同學所采用的是第一種純解析幾何方法，有些同學雖得出了正確答案，但并不知道問題的來龍去脈；而如若用平面幾何方法，則可清楚地看到本題的本質是什么．無獨有偶，2008年的江蘇卷解幾題也同樣如此，請同學回去后自已嘗試看看．

·類比模擬題

為提高教學的針對性，需把握好例題與練習的問題間的情境脈絡，使練習與例題能形成一個整體，形成解題能力突破的組合拳．

師：高考試題如此，而平時的模擬試題又是怎么樣的呢？下面請同學們做一個模擬試題：

已知過點A(-1,0)的動直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q兩點，M是PQ中點，l與直線m:x+3y+6=0相交于N．試探索AM·AN是否與直線l的傾斜角有關.若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

師：本題也可用平面幾何解法，能發現嗎？能發現直線CA與直線m之間的關系嗎？

生(口算后)：垂直．

師：現在再試試．

師(小結)：做得好，你發現了本題的本質，也發現了這道題是如何編制的．

一節課很快就要結束了，這節課給同學們留下的最深的一個印象是什么？

生：兩種不同方法的比較，尤其是關于圓的問題中，常常是用平面幾何的知識來解答更簡捷．

師(最后小結)：說得好，的確有些問題的命制就是從平面幾何而來的，但我們也不能形成思維定勢.吳文俊先生也說：“盡快結束平面幾何的教學，盡快引入解析幾何的教學.”畢竟考查目的還應是解析幾何，在以后的學習中我們會進一步體會到解析幾何的作用．今天的課就上到這里，請課后完成有關作業(具體作業略)．

說明通過幾道作業題，與教學內容相呼應，進一步強調了本節課所體現的主要理念，嘗試比較用平幾方法與坐標方法來解決解析幾何中的圓問題，從而進一步厘清本節課的情境脈絡，形成一體化觀念．

3 回顧與反思

3.1 設計立意

由于近年高考數學命題中，很多試題是由課本題引申變化而來，為了使重視課本復習的精神落到實處，這節課的設計立意就是從尋找高三數學教學的源頭做起，由課本的原問題，通過它的情境脈絡，聯想到近年的高考數學試題及其逆命題，再回歸到具有共性的平面幾何情境的模擬試題.通過一道課本習題的情境脈絡及其演變，努力踐行一題多解、多解歸一、多題歸一的高三復習一體化情境教學理念．

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾曾說：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學習的唯一重要的因素就是學生已經知道了什么；要探明這一點，并應據此進行教學.”考慮到所教的學生基礎相對薄弱，因此這節課沒有直接拋出較難的高考題，而是進行了多次鋪墊，分別將動直線改為定直線、原命題改為逆命題，通過螺旋式上升的設計來貼合學生的最近發展區，讓學生既不是很輕松地解決，又能跳一跳夠得著．

3.2 設計的原則

(1)遵循了教學背景熟悉化原則

從問題的源頭——教材題入手，整個一節課均是對該題進行改編、追問，這樣的背景讓學生感到很親切，也樂于學習．

(2)遵循了教學過程活動化原則

課堂教學盡可能讓學生處于活動中，力爭每一道題都讓學生進行嘗試，在活動中解決問題.板演的是學生，而多媒體展示的也是學生的成果．

(3)遵循了教學內容思考化原則

思考是數學之魂.在整個的課堂教學中，力爭讓學生在不停地思考著、體會著．

3.3 設計的關注點

(1)關注題目答案從哪來、到哪去

原始命題的預設解法；教師研討的多種解答；學生作業中的典型錯解與正解．

(2)關注知識點的提取從哪來、到哪去

知識的結構化理解：意在問題解決時提取“連續”.模型的完整構建與再構：意在問題解決時組合“有效”、發展學生模型能力．

(3)關注學生的運算能力從哪來、到哪去

在“慢”中求得運算的正確性：運算能力的強弱體現在正確與迅速上，正確是運算的第一要素，是迅速的基礎與前提，要慢慢體會算法、算理、算律.在“快”中提高運算質量：熟能生巧，求“簡”中提高運算速度， 求“理”中體會運算規律(為什么這樣算，還可怎樣算)．

3.4 困惑與思考

如何處理好主問題與次問題的關系：是否需要每個問題都讓每個學生的學習“真發生”，是否需要防止過分糾纏于“次問題”中？

如何處理好常規方法與簡便方法的關系：是否需要讓每個學生都掌握簡便的方法，是否需要每題都尋求創新的簡便方法？

如何處理好問題簡化與深化的關系：是否需要讓每個學生都學會將簡單問題深化成復雜問題，是否需要每個問題都簡化成模型或分解成簡單問題？