定常輸入時滯不確定切換系統的魯棒鎮定

劉玉忠, 武挽月

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

切換系統是由一族連續(或離散)時間子系統和一個切換規則組成的系統,在過去幾十年中,受到眾多研究者的關注[1]。關于時滯切換系統的鎮定方面已經取得豐碩的成果,但大多是針對含狀態時滯的切換系統,對具有輸入時滯不確定切換系統的研究并不多見。

輸入時滯現象大量存在于工程實際問題中,因此研究含輸入時滯的不確定切換系統具有重要理論價值和實際意義。解決具有定常輸入時滯系統的一個比較有效的方法是還原法,借助某種狀態變換,將原時滯系統轉化為非時滯系統,且Moon[2]指出,在時延很小的情況下,還原法所建立的控制器會使系統具有更好的性能和更小的保守性。

本文運用改進的還原法,研究了一類帶有輸入時滯不確定切換系統的魯棒鎮定問題。LIN等[3]基于公共Lyapunov函數方法給出了輸入時滯切換系統二次鎮定的充要條件,但并沒有考慮參數不確定性和保守性。WANG[4]利用矩陣的嚴格完備性設計了一類能使含有輸入時滯不確定切換系統穩定的切換策略,但不易實現。本文提出了一種狀態反饋控制器的設計方法,依據Lyapunov穩定性理論給出了系統在控制器作用下穩定的充分條件。

1 問題描述及相關引理

1.1 系統描述

考慮如下含有輸入時滯的不確定切換系統:

(1)

其中:x(t)∈n為狀態變量;u(t)∈p為控制變量;Ai,Bi,Ci為相應維數的常數矩陣;h為控制時延常數;φ(t)是在[-h,0]上的一個可微向量值初始函數;i:+=[0,∞)→M={1,2,…,m}為一個依賴于t或狀態x(t)的分段常值右連續切換信號;m為子系統的個數;矩陣ΔAi,ΔBi,ΔCi為時變不確定性參數矩陣[5]。

1.2 還原算法

考慮如下帶有輸入時滯的切換系統[6]:

(2)

為了分析和設計系統(2)的魯棒控制器,需要用到如下引理:

引理1 Jesen不等式[7]

引理2 對于具有相應維數的實數矩陣D,F(t),E,若FT(t)F(t)≤I,則對Ki和?ε>0,DF(t)E+ETFT(t)DT≤ε-1DDT+εETE。

2 主要結果

針對系統(2),有如下結果:

證明 令u(t)=Kiz(t),代入系統(2)有

選取Lyapunov泛函為V(t)=V1+V2[8],則

從上面2個式子可以看出V(t)>0,對V1求導有

再根據引理1和引理2[9]有

對V2求導,有

于是

因為

所以

同理

由Schur補引理[11]可知Ξi<0的充分必要條件為Ψi<0,定理得證。

3 結 語

本文研究了一類帶有輸入時滯不確定切換系統的魯棒鎮定問題[12],應用改進的還原算法,給出了系統魯棒鎮定的充分條件,并把轉化為了簡潔清晰的LMI形式。