帶積分邊界條件的三階微分方程正解的存在性

張紅娜, 薛春艷

(北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100192)

考察如下帶有積分邊界條件的三階微分方程

(1)

其中:λ>0,是一個正參數(shù);對于1≤p≤+∞,有ω∈Lp[0,1],ω在t=1或t=0處有可能奇異;g∈C[0,1]是一個非負(fù)的函數(shù).f和ω滿足以下條件:

H2)f∈C(R+,R+),R+=[0,+∞),有f(0)=0和對于u>0,有f(u)>0;

H3)g∈C[0,1]是一個非負(fù)的函數(shù),對于μ∈[0,1)有

本文主要研究帶積分邊界條件的三階微分方程解的存在性,目前也有很多的學(xué)者利用上下解、不動點定理等方法來研究帶積分邊界條件的三階微分方程。

Sun在參考文獻(xiàn)[1]中運用錐拉壓不動點定理,得到了帶積分邊界條件的三階微分方程單調(diào)正解存在性和不存在性的充分條件

其中:λ>0;ω∈Lp[0,1],ω≠0,在(0,1)的任何開區(qū)間上成立,并且有可能在t=0或t=1處奇異;f∈C(R+,R+),R+=[0,+∞)和g∈C(0,1)是非負(fù)函數(shù)。

Fu[2]研究了如下方程解的存在情況:

其中:θ為零元素;g∈L[0,1]非負(fù);φ:R→R遞增正同態(tài)。

從參考文獻(xiàn)[1-5]中不難看出,對積分邊值問題利用特征值理論來進(jìn)行的研究相對較少,特別是正解對參數(shù)λ依賴性的研究。

1 預(yù)備知識

為了方便,記:

引理1 如果條件H1)～H3)成立,則問題(1)有一個解u,可以表示成

(2)

其中

引理2 令G(t,s)和H(t,s)為引理1中所給出,則有如下結(jié)果:

(5)

(6)

(7)

令E=C[0,1],則E是一個實的Banach空間,定義范數(shù)為

在E中定義一個錐K得

對于r>0,定義Ωr為

Ωr={u∈K:‖u‖

則有

?Ωr={u∈K:‖u‖=r}

定義算子T:K→K為:

(8)

引理3[7]如果條件H1)～H3)成立,則T(K)?K和T:K→K是全連續(xù)的。

ⅰ) ‖Tx‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1和‖Tx‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω2

ⅱ) ‖Tx‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1和‖Tx‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω2

引理5[11]若D是無限維實Banach空間E中的一個開集,有θ∈D,且P為E中的一個錐,如果算子Γ:P∩D→P是全連續(xù)的,并且有Γθ=θ,若滿足

則Γ在P∩?D上關(guān)于一個正的特征值有一個固有元,即存在x0∈P∩?D和μ0使得Γx0=μ0x0。

2 主要結(jié)論

在本節(jié)中,為式(1)的正解存在性建立一些充分條件。關(guān)于ω∈Lp[0,1]中的p考慮了3種情況,p>1,p=1和p=∞,其中p>1的這種情況應(yīng)用到下面的定理中。

定理1 假定條件H1)～H3)成立,若有00,使得對于?r>R0,式(1)有一個正解,且有‖ur(t)‖=r。對于任意λ,有

λ=λr∈[λ1,λ2]

(9)

其中λ1和λ2是2個正的有限數(shù)。

因為0l1>0和η>0使得

l1u

(10)

因此,對任意r>R0和u∈K∩?Ωr,有

并且有‖ur‖=r。

另一方面,因為

進(jìn)而有

即

此外,有

因此有

即

從而計算得出λ1<λ2。

最后,λ∈[λ1,λ2]。定理1證明完畢。

推論1 假定H1)～H3)成立,若滿足00,使得對于?r>R1,式(1)有一個正解,且有‖ur(t)‖=r。對于?λ,有

其中

證明 用‖ω‖∞來代替‖ω‖p,便可以證明推論1。

推論2 假定H1)～H3)成立,若有00,使得對于?r>R2,式(1)有一個正解,且‖ur(t)‖=r。對于任意λ,有

其中

證明 用‖ω‖1來代替‖ω‖p,便可以證明推論2。

定理2 假定H1)～H3)成立,若有f∞=+∞,則?R3>0,使得對于?r>R3,式(1)有一個正解,且‖ur(t)‖=r。對于任意λ,有

λ=λr∈(0,λ3]

其中λ3是一個正的有限數(shù)。

證明 類似于定理1的證明,很容易得到定理2也是正確的。

定理3 假定H1)～H3)成立,若有f0=+∞,則?r>0,使得對于?r都有0

證明 與參考文獻(xiàn)[6]證明過程類似。

定理4 假定H1)～H3)成立,若有f0=+∞,則?r1>0,使得對于?r有0

證明 該定理的證明與定理3的證明類似,在此不予證明。

3 結(jié) 語

本文將邊界條件推廣到了積分邊界條件,研究了帶積分邊界條件的三階微分方程解的存在性,同時給出解不存在的充分條件以及參數(shù)的依賴性[12-15]。