圓錐型水輪旋轉現象的數學模型及其仿真

王賀元, 梅鵬飛

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

混沌的歷史最早追溯到Poincare對三體問題的研究[1]。1963年,氣象學家Lorenz[2]在研究局部區域小氣候的數值實驗中發現了混沌現象,從而開啟了混沌研究的先河。Lorenz方程揭示的混沌現象引起了人們極大的研究興趣,進而引發了探索熱潮[3-9]。人們在研究Lorenz系統混沌行為的同時,一直都在探索設計與Lorenz系統對應的實驗裝置[9-13]。本文首先構建圓錐型水輪旋轉的數學模型,其次探討數學模型的動力學行為,進而解釋和分析水輪的混沌旋轉現象。

1 圓錐型水輪旋轉裝置

圓錐型水輪旋轉裝置由2個同軸等高的圓錐組成,圓錐間存在小的間隙,間隙之間加薄板,將公共頂點挖去,制作漏水的小孔,漏水率為k,注水器位于裝置的最高點,注水率Q大小可以人工調節,圓錐的公共軸制作成可調節摩擦的轉軸,整個裝置與水平面有非零夾角φ,保證注水后水輪可以旋轉。

2 圓錐型水輪的數學模型

2.1 建立質量守恒方程、力矩平衡方程

取水腔內控制體的體積為V,V內流體質量變化取決于頂部的注入、對流和底部的流出,在t時刻的變化為

(1)

(2)

(3)

下面對轉動慣量I(t)和重力矩L進行詳細推導和計算。以旋轉軸為軸建立如圖 1所示坐標系。

圖1 坐標系Fig.1 Coordinate syste

由于水腔微元水的質量分布密度為P(θ,t),設整個水輪間隙區域為Ω,取如圖2中薄圓臺型的一小段為水微元dv,則水腔內水微元質量為P(θ,t)dv,水輪中水的高度為z,變化范圍為[0,h],在水微元形成的圓環形液面中小圓半徑為r0,大圓半徑為R0,水輪中水的轉動慣量為

圖2 水微元示意圖Fig.2 Water micro element diagram

令A=(cot4β-cot4α)h5,則

(4)

小微元體所受到的重力為P(θ,t)dv·g,這里g為重力加速度垂直于旋轉軸的分量。根據力矩公式,可得微元的重力矩為P(θ,t)dv·g·rsinθ。水輪裝置間隙區域Ω內水的重力矩為

令B=(cot3β-cot3α)h4,則重力矩:

因而力矩平衡方程(3)化為如下方程:

(5)

方程(2)和方程(5)即為圓錐型水輪旋轉現象的數學模型。

2.2 數學模型的簡化

由于圓錐型水輪的數學模型(2)和模型(5)是連續的,下面通過傅里葉展開簡化模型(2)和模型(5),以便進行理論分析和數值仿真。對水質量分布密度P(θ,t)展開成傅里葉級數:

(6)

由于圓錐型水輪旋轉時的水是對稱注入的,因此對其中的注水率Q(θ)進行傅里葉展開有

將此式和式(6)代入方程(2)和方程(5)整理,利用待定系數法得

圓錐型水輪旋轉軸水平時的方程與方程(7)取n=1時導出的結果相似,但在這種情況下,推導出的是對應粗糙近似真實的系統[14],所以對傾斜情況討論時,只能通過一個無窮小的連續系統做出近似,代替有限大小的隔間。最初,水輪是空的,對應所有的n,都有an=bn=0。

由圓錐型旋轉水輪中水的轉動慣量為

從而得

(8)

因此,總轉動慣量I(t)隨時間而變化,與水輪的轉動速度沒有關系,根據式(8)可知:當n=1時,方程組(7c)與其他方程模態解耦;當n≥2時其為高模態,只影響裝置注水的細節,不影響水輪轉動。從而可得動力系統是由如下3個方程耦合而成:

(9)

式(9)為圓錐型水輪旋轉問題簡化的數學模型。

3 數學模型動力學行為的仿真研究

取σ=4,模型系統的動力學行為隨著ρ的大小變化而變化。圖3為當0<ρ<300時的分叉圖,圖4為對應的最大Lyapunov指數圖。當ρ=1.065 386,模型開始出現分叉;當ρ>16時,混沌開始出現,混沌區中在75.688<ρ<110時出現一個明顯的周期窗口。

圖3 σ=4時狀態變量y的分叉圖Fig.3 Bifurcation graph of state variable y when σ=4

圖4 σ=4時的最大Lyapunov指數Fig.4 The largest Lyapunov exponent when σ=4

從上述指標圖的特征可以看出模型(9)在ρ>16時展現混沌狀態。

4 結 語

本文利用微元法結合力學原理,通過傅里葉變換,推導出圓錐型水輪旋轉現象對應的數學模型為三維非線性微分方程組。運用MATLAB軟件繪制混沌指標圖,展示了數學模型的混沌行為,進而對水輪混沌旋轉現象給出了合理性的解釋。