一道聯賽試題的背景與解法

湖北省仙桃中學 (433000) 胡生淼

2018年全國高中數學聯賽一試解答題壓軸題是一道解析幾何試題，官方公布的答案運算量較大，下面我們通過揭示本題蘊含的兩個背景，給出一種較為簡潔的解法.

題目在平面直角坐標系xoy中，設AB是拋物線y2=4x的過點F(1,0)的弦，△AOB的外接圓交拋物線于點P(不同于點A、O、B)，若PF平分∠APB,求|PF|所有可能值.

結論1過點P(x0,y0)的兩條直線分別與拋物線y2=2px(p>0)交于點A、B與C、D，若這四點共圓，則這兩條直線的傾斜角互補(或斜率互為相反數).

圖1

證明:如圖1，設直線AB的序數方程為

圖2

圖3

有了上面兩個結論我們可以輕松解決聯賽試題.

至此我們就輕松地利用兩個結論，以較小的運算量解決了此題，這啟迪我們平時解題應該多思考.