例談三角形中最值問題的解題策略

江蘇省金湖中學 (211600) 張?zhí)?/p>

解三角形的題目是高考中的熱點之一，也是考查解決問題能力的一個著力點，而其中求三角形中的最值問題比較突出，與其它知識點聯(lián)合出題是其主要特點．對于如何求最值，常見的方法是運用基本不等式，也可以利用二次函數(shù)和三角函數(shù)的有界性解決，本文通過舉例分析來探討幾個典型問題的解題策略，務(wù)求為讀者帶來點滴幫助．

一、探求角的最值

一般都是對題設(shè)條件進行邊角轉(zhuǎn)換，變形化簡，最后成為一個關(guān)于某一個角的三角函數(shù)值的范圍，然后根據(jù)三角形中角的范圍確定最值．

例1 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求角B的最大值．

評注：題設(shè)中給出的關(guān)于三角形邊的條件比較多，運用余弦定理解題是首選，注意此時選定的角要有針對性，大多是解決問題的對象，也可以是受條件的引導．

評注：首先通過用正弦定理實現(xiàn)了邊和角之間轉(zhuǎn)換，然后就是判斷出最大角，而對于用比例系數(shù)表示出三角形的三邊也是重要舉措，必須考慮到如何消去參數(shù)的后續(xù)問題．

二、探求邊的最值

此類問題是體現(xiàn)解三角形中邊角轉(zhuǎn)換典型的形式，在轉(zhuǎn)化為邊的問題時，多采用基本不等式解決，如果轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，就用三角函數(shù)值的有界性求解．

評注：在已知一條邊長后，再求三角形的周長，只需整體解決另外兩邊的和就行了，這點思考很重要，而用余弦定理是容易達到目的的．

評注：本題解決的關(guān)鍵是“BC邊上的高AD=BC”的利用，根據(jù)兩個不同的面積公式將邊與角拉上了關(guān)系，使抽象的長度比轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，揭示了問題的真面目．

三、求三角形面積的最值

三角形的面積公式比較多，選用誰必須目標明確，其標準就是能否運用現(xiàn)有的條件達到解題目的，解題中還需注意公式的整體使用的技巧．

評注：本題中在解決面積的最大值問題時運用了基本不等式，這也是正弦定理和余弦定理的常見的應用之一，抓住條件、瞄準目標、整體變形是有效的解題方法．

評注：在解題中利用了“三角形中任何兩邊之和大于第三邊”這一知識點確定出邊長的范圍，是解決最值問題的不可缺少的部分．

四、有關(guān)三角函數(shù)式的最值

解決此類問題中的一個關(guān)鍵步驟就是運用已知條件對函數(shù)式進行化簡，這其中的正、余弦定理的運用，三角形內(nèi)角和定理運用都起到重要作用．

例7 已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若cosA>0，且cos2A-3sinA+1=0，求sin(C-A)+

評注：通過運用三角變換把已知條件中的等式化簡求解，得到了其中的一個角，這樣為消元將結(jié)論式轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角三角函數(shù)提供了有力支撐．還需注意三角形內(nèi)角和定理的及時運用．

評注：首先運用余弦定理將角的函數(shù)式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是解題的重要舉措，在解決最值問題時及時運用基本不等式也是解題的精彩之處．

前面我們講解了解三角形中的四類常見的最值問題，當然還有其他情況，限于篇幅只能如此了，此類題目比較綜合，有一定的難度，但只要我們老師能點其精、涉之廣，在教會方法上下工夫，這些問題就能順利解決．