巧定“界點(diǎn)”妙討論：導(dǎo)數(shù)解答題的破解策略

重慶市璧山中學(xué) (402773) 楊 帆

導(dǎo)數(shù)解答題是歷年高考數(shù)學(xué)中重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)題型之一，經(jīng)常作為壓軸題形式出現(xiàn)，其主要特點(diǎn)是思維量大、運(yùn)算繁瑣、區(qū)分度高開.而其求解往往離不開對參數(shù)的分類討論，如何巧妙確定分類討論的“界點(diǎn)”，是成功破解導(dǎo)數(shù)問題的策略所在.本文結(jié)合實(shí)例，就常見的幾類巧定“界點(diǎn)”方法加以剖析．

1．巧借二次項系數(shù)，妙定討論“界點(diǎn)”

例1 (2021屆“決勝高考”高三新高考八省第一次模擬測試題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax(a∈R)．

(1)當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f(x)的極值；

評注：涉及的導(dǎo)函數(shù)中含有二次三項項，需要對最高項的系數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次項系數(shù)是否為0，判斷函數(shù)是否為二次函數(shù)；由二次項系數(shù)的正負(fù)，判斷二次函數(shù)圖象的開口方向以及相應(yīng)的特征，從而尋找導(dǎo)的變號零點(diǎn)，為分類討論的“界點(diǎn)”確定定下基調(diào)．

2．巧借判別式，妙定討論“界點(diǎn)”

例2 (2019年武漢外國語學(xué)校模擬題)已知函數(shù)f(x)=(1+ax2)ex-1(a∈R)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當(dāng)a≥0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上零點(diǎn)的個數(shù)．

解析：(1)f′(x)=(ax2+2ax+1)ex，當(dāng)a=0時，f′(x)=ex≥0，此時f(x)在R單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，判別式△=4a2-4a.

①當(dāng)0

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘↗

評注：通過對涉及函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，要判斷導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)(或?qū)Ш瘮?shù)分子能否分解因式)，特別在導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)或與二次函數(shù)有關(guān)的問題時，此時涉及二次方程問題就要結(jié)合判別式△與0的大小關(guān)系來分析，利用這個關(guān)系討論的“界點(diǎn)”進(jìn)行分類討論．

3．巧借導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，妙定討論“界點(diǎn)”

(1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)有三個零點(diǎn)x1，x2，x3(x1

列表如下：

x(-∞,-13a)-13a(-13a,13a)+13a(13a,+∞)g′(x)+0-0+g(x)↗極大值↘極小值↗

由于g(x)有三個非零的零點(diǎn)，所以

評注：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來確定分類討論的“界點(diǎn)”時，一定要在函數(shù)的定義域內(nèi)加以分析．借助導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)劃分對應(yīng)的函數(shù)定義域，既要考慮導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，還要考查多個零點(diǎn)的大小問題，如果多個零點(diǎn)的大小關(guān)系無法確定，也需要進(jìn)行分類討論．

實(shí)際上，分類討論破解導(dǎo)數(shù)問題中，“界點(diǎn)”的確定變化多端，只有抓住這幾類常見類型，靈活多變，合理轉(zhuǎn)化，綜合運(yùn)用分類討論思想，巧妙通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值以及恒成立等才能將問題順利求解．