導數中的“摸著石頭過河”
——以2020山東新高考數學導數壓軸題為例

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林秋林

一、問題的提出

例1 (2020·新全國Ⅰ山東)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

試題的難點在第(2)問，這是一道“已知含參不等式恒成立進而求參數范圍”的類型題，是函數導數壓軸題中的熱點問題，其通法是分離參數法或分類討論法．但該題的參數無法分離，而利用分類討論法，其如何分類也是個難點．雖然還可以利用同構思想來做等價變形，但難度也較大，不容易想到．故而不少學生在做簡單嘗試之后就會憑經驗果斷放棄，因此筆者想借此機會談談另外一種方法，即所謂“摸著石頭過河”，同時不惴膚淺，付諸筆端，愿各位老師指正.

二、如何“摸著石頭過河”？

生活中常說的“摸著石頭過河”指的是若想過一條不熟悉的河，在沒有前人給出經驗、沒有船也沒有橋等情況下，要分清這條河哪個地方水深，哪個地方水淺，最好的方法就是以身試水摸索著河里的石頭，一步步摸清情況從而安全過河．這個“過河”的思路在數學解題中也是適用的，就是解題不要盲無目的，要先想辦法“摸到河里的石頭”，也即必要性探路，然后再“循著石頭去過河”，就能做到事半功倍．

大家都知道，導數是高中數學中的一個重要考點，導數和函數的綜合問題幾乎每年都成為高考以及各省市模擬考中的壓軸題．對于這些壓軸題，大部分學生解決起來都較為困難．但對于其中某些恒成立問題，若能恰當應用“摸石頭”的思路，想辦法探探必要性，盡量對其中的參數范圍進行限制，則解決起來會相對容易得多．下面筆者舉幾個例子來談談具體操作．

例2 已知函數f(x)=-x3+x2+b，g(x)=alnx.

(2)若對任意x∈[1,e]，都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立，求實數a的取值范圍.

例3 已知f(x)=ex-ax2-2x+b(e為自然對數的底數，a,b∈R)．

(1)設f′(x)為f(x)的導函數，證明：當a>0時，f′(x)的最小值小于0；

(2)若a<0，f(x)>0恒成立，求符合條件的最小整數b．

解析：(1)略；(2)依題意，由f(x)>0恒成立，可知f(0)=1+b>0，從而b>-1．下證b=0符合題意．

評注：本題的標準解答是通過虛設f′(x)的零點，求出f(x)的最小值，最后再求出b的取值范圍．難度較大，學生掌握起來較為困難．但借助f(0)這塊“石頭”去限制b的取值范圍后，就能較為輕松解決該題，讓人眼前一亮.

三、問題的解決

下面利用“摸著石頭過河”來解決例1．

綜上所述，a的取值范圍為[1,+∞)．

圖1

評注：本題中的“石頭”較多，有f(1)，g(1)，h′(1)等等．其實要摸到這幾塊“石頭”，只需要注意到第(1)小問中的點(1,f(1))，這可以看作是一個變相的提醒．實際上也是因為函數y=ex-1與y=lnx+1的圖象恰好相切于P(1,1)這個點，而y=x是它們的公切線．如圖1所示，可以看到有ex-1≥x≥lnx+1．

四、結束語

俗話說，“摸著石頭過河——步步穩妥” ．在這類導數壓軸題中，教師可以通過指導學生尋找“河中的石頭”，讓學生“摸著石頭過河”．這個思路不僅可以為學生探明“河”的深淺、找到“過河”的方向，使學生能更加安全順利地“過河”，還能在這過程中讓學生從中享受到“過河”的樂趣，從而提高學生的解題興趣，可以說其不失為一種好的選擇．