利用三面角判斷空間角的大小*

廣東省佛山市羅定邦中學 (528300) 肖芳芳 龍 宇

2019年浙江卷的第8題涉及到了所有的空間角(線線角、線面角、以及二面角)，且沒有涉及具體的運算，而是對于三個角大小的判斷，考察考生們的空間感，很好地體現了“直觀想象”等核心素養.近期筆者將該問題做為練習給學生使用，但學生們普遍感覺沒有思路，覺得沒有任何數據很難判斷.基于此，筆者在教學過程中介紹了三面角模型進行求解，現整理成文，以饗讀者.

一、題目

設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P為棱VA上的點(不含端點)，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC的所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ

C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β

二、三面角模型

圖1

如圖1，三面角是由具有公共端點的不共面的三條射線，以及任兩條射線所成的角的內部構成的空間圖形.公共端點稱為三面角的頂點，三條射線稱為三面角的棱，兩棱所夾的平面部分(角)稱為三面角的面(角).過每一條棱的兩個面所成的二面角稱為三面角的二面角.

關于三面角有兩個重要定理：正弦定理，余弦定理.這兩個定理可視為三角形正、余弦定理的空間形式.本文不直接使用這兩個定理解決上述問題，僅借此模型介紹一個相關結論.

圖2

三、問題解析

圖3

如圖3，三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，所以二面角P-AC-B的平面角與二面角P-BA-C的平面角相等，都記為γ.考慮三面角B-PAC，根據上述結論sinβ=sinγ·sin∠PBA

圖4

直線PB與直線AC為異面直線，如圖4，設AB,BC,AP的中點分別為D,E,Q，設二面角Q-DE-A的大小為φ.考慮三面角D-EAQ，根據上面的結論sinβ=sinα·sinφ

四、三面角的正、余弦定理

關于三面角模型，除了上面的應用外.還有兩個常用的定理，分別是正弦定理與余弦定理.這兩個定理直接討論空間角之間的關系，繞過了復雜的邏輯推理以及輔助線的建立.對于空間角的求解有奇效.現簡介如下：

三面角的余弦定理：三面角的一個面角的余弦，等于其余兩個面角的余弦之積加上這兩個面角的正弦與這兩個面角所夾的二面角的余弦的連乘積.設三個面角V-ABC的三個面角的度量分別為α,β,γ，它們所對的二面角分別為A,B,C，則有cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

五、經典高考題目回顧

例1 (2015高考浙江理8)如圖5，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則( ).

圖5

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′CB≥α

解析：考慮三面角D-A′CB，設∠A′DC為θ，則有∠BDC為π-θ，且在翻折的過程中，兩個角的大小不變.根據三面角的余弦定理可得cos∠A′DB=cosθ+cos(π-θ)+sinθ·sin(π-θ)cosα=cosθ-cosθ+sinθ·sinθ·cosα=sin2θ·cosα≤cosα,由此可得∠A′DB≥α，故選B.

例2 (2018高考浙江理8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)，設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

圖6

解析：如圖6，過點E作BC的平行線交CD于點F，則有∠SEF為θ1，考慮三面角：E-SAF，設二面角S-EF-A的大小為α，根據本文中的模型可得sinθ2=sinθ1·sinα≤sinθ1，即可得θ2≤θ1；再次利用該模型可得sinθ2=sinθ3·