兩道教師解題比賽題的優解

江西省玉山一中 (334700) 陳 虹

近日，筆者參與了上饒市首屆高中數學解題講題大賽，認真鉆研了這份試卷，認為試題新穎獨特，內容覆蓋面廣，質量優秀，解法靈活.本文就其中兩道題的解法進行了優化.

例1 如圖1，在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足(2b-c)cosA=acosC,D是BC邊上的一點.

圖1

(1)求角的大小;

命題者的解法：(1)由(2b-c)cosA=acosC可得

(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC，2sinBcosA=

上述第(2)問的解答是通過一對互補角，結合余弦定理建立b,c的關系式，化簡過程三次使用余弦定理，然后再轉化為b,c關系而求解.此法化簡過程繁瑣，并且解二元二次方程組計算量大.如果采用向量數量積和余弦定理相結合的方法，通過配方、換元等大家熟練掌握的技巧將二元二次方程組轉化為一元二次方程求解，就會使得解題過程顯得簡單易算.

例2 已知函數f(x)=ex+sinx+cosx-a(x+1)≥0對任意x∈[0,+∞)恒成立，求實數a的取值范圍.

命題者的解法：由題意f(0)=2-a≥0，所以a≤2.下面證明當a≤2時題目成立.

以上解答用到了泰勒展開式，并構造了三個函數，已超出了初等數學范圍，并使問題過于復雜化.本題如運用常見不等式“x≥0時sinx≤x”進行合理放縮，則能有效地優化其題解法：

優化解法：由題意f(0)=2-a≥0，得a≤2.下面證明當a≤2時命題成立.即證f(x)=ex+sinx+cosx-2(x+1)≥0對任意的x∈[0,+∞)恒成立.