2020年高考北京卷解析幾何試題的探究與推廣*

廣東省中山市濠頭中學 (528437) 閆 偉 何 杰

圓錐曲線與直線的位置關系一直是高考的熱點和難點，在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結論如定值問題，這些結論看似特殊，實則都具普遍性，且往往具有豐富的命題背景和深厚的內涵，研究此類試題不僅能夠更好的把握解析幾何的本質，還能透過試題挖掘隱含的命題規律，更能將其拓展到一般情況，從而提升學生數學思維，發展數學核心素養.下面以2020年高考北京卷解析幾何試題為例進行說明.

1.試題呈現與分析

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、線段長度定值的證明等基礎知識，能力層面突出考查學生的推理論證能力、運算求解能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，側重考查數形結合、化歸與轉化的思想．試題分兩問，梯度明顯，既能讓絕大多數考生有所收獲，又能區分不同層次的學生，下面著重探討第二問. 第二問要證明的線段BP和BQ的比值，解決思路是聯立直線l與橢圓方程，利用M、N兩點坐標分別表示兩個線段長度，再結合韋達定理運算求解. 本題立意深刻、內涵豐富，具有一定的典型性、代表性，極具探究價值，是一道值得研究的好題．

2.試題解析

評注：本題要解決線段長度比值，先要用相關參數表示兩個線段，再結合韋達定理進行化簡求解，解題思路較為常規，只是運算量有些大，要求學生具備較高的數學運算、邏輯推理能力.

3.試題反思及GeoGebra平臺的探究

實驗:(1)在GeoGebra繪圖區先設置兩個“滑動條”a,b，輸入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到橢圓C；(2)在橢圓上任取點A(非短軸頂點)，并輸入直線l:x=a^2/(x(A))且與x軸的交點為B；(3)過點B作與橢圓相交的直線，交點分別為M,N，再作出直線MA,NA以及與直線l的交點分別為P,Q；(4)拖動A點，或者直線MN，又或者改變參數a,b的值，進行演示，如圖1、2.

圖1

圖2

通過實驗演示進一步探究可知：只要滿足A,B兩點的橫坐標乘積等于a2，即xA·xB=a2時，線段|BP|與|BQ|恒相等. 于是我們可以將試題結論推廣到一般情形：

4 結論推廣 揭示本質

于是|BP|=|BQ|.

結論2、3、4的證明過程與結論1相仿，此處不一一贅述.對于拋物線，類似的我們有

結論5 已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點A(m，n)(m≠0)，過點B(-m,0)的直線l交拋物線C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x=-m于點P,Q，則|BP|=|BQ|.

5 教學啟示

數學教育家波利亞曾說：好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個[1]. 高考試題是命題專家集體智慧的結晶，具有典型性和代表性，他們好比蘑菇，我們如果能以這些典型試題為出發點開展磨菇式的深入探究，便可以達到解法思路打通后講一題，通一類,得一法的教學效果.

高考試題是命題專家的精心之作，每年的高考題在命題角度、題型難度等方面都進行了充分考量，除了具有測試與選拔功能外，還具有良好的教學功能，要了解高考動向、把握高考脈搏，高考試題的研究分析是重要的途徑. 因而我們要對高考試題做深入的分析與探究，教師要跳入題海多做多思，才能做到融會貫通，幫助學生跳出題海. 對高考試題的深度研究，不僅能使我們精準地理解試題的背景和本質，還可以更好地培養學生思維品質，提高學生分析問題和解決問題的能力, 提升學生的數學核心素養.