一道清華大學能力測試題的探究

江蘇省盱眙中學 (211700) 陳海波

一、試題呈現

(1)求橢圓M的方程；

(2)設O為坐標原點，A,B,C是橢圓上不同的三點，并且O為△ABC的重心，試求△ABC的面積.

本題是2018清華大學THUSAAT測試題理科第20題，第(1)問考查了橢圓標準方程的求解方法，考查了待定系數法，運用了方程思想，化歸與轉化的思想；第(2)問考查橢圓內接三角形面積的定值問題，基本涵蓋了解析幾何中三角形面積問題的基本方法.構思精心，巧妙，入口寬廣，解法多樣，有好的區分度，為不同學生能力的施展提供了一個非常好的平臺，要求學生有一定的分析問題和解決問題的能力，同時本題第2問內涵非常豐富，還可以進行深度的挖掘和推廣.

二、解法探究

三、變式探究

波利亞說“好的問題如同某種蘑菇，有些相似，它們大都成堆地生長，找到一個以后，你應該在周圍再找找，很可能附近就有幾個” .本題中，可以發現如下變式：

四 、一般性結論

從特殊對象推廣到一般性結論是數學發現和數學創造的常見方法，也是數學研究常用策略，本題中的結論還可進行一般形性的推廣得如下結論：

五、習題鏈接

(1)證明：點P在C上；

(2)設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A,P,B,Q四點在同一圓上．

圖1

六 、結語

本題既具選拔功能，也凝聚了命題者的數學素養，具有立意高遠，背景深刻的特點，通過研究可以體會到其中豐富的數學思想及數學深層次的聯系.