一個一元高次不等式的推廣及應用

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春 夏逸天 周思波

伯努利不等式，在高考數學和競賽數學中具有廣泛的應用，但直接運用伯努利不等式顯得有些不太方便，需要將伯努利不等式(1+x)n≥1+nx(其中x>-1，n∈N*，當且僅當x=0時，取等．)變成xn≥nx-(n-1)(其中x>0，n∈N*，當且僅當x=1時取等．)的形式．為了使不等式“xn≥nx-(n-1)”的應用范圍更廣，考慮通過引入參數的方式將其推廣．接下來，將給出該不等式的推廣和應用．

1.不等式的推廣

2.不等式的推廣應用

例1 (2019年高考數學理Ⅰ卷23題)設a，b，c為正數，且滿abc=1．證明：(Ⅰ)略；(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．

例2 (2017年高考理科Ⅱ卷23題)已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：(Ⅰ)略；(Ⅱ)a+b≤2．

例5 已知正實數x，y，z滿足x2+2y2+3z2+4w2=100，求xy+xz+xw+yz+yw+zw+x+32y+83z+154w的最大值．

3.結語

通過上述對伯努利不等式的推廣和應用，可以發現，引入參數能夠起到簡化運算的效果，可以將高次的冪不等式問題轉化成次數較低的冪不等式問題來解決，這極大的降低了高次不等式的證明難度．其中，對參數形式的伯努利不等式tn≥n·λn-1t-(n-1)λn，可以根據其取等號的條件“λ=t”，確定參數λ的值，進而達到恰當放縮不等式的目的．