對“構造函數法”的一點補充

廣東省廣州市番禺區實驗中學 (511400) 潘神龍

1 問題的提出

《數學通報》文[1]中作者提出了構造函數法；筆者發現，在具體操作中，該方法需要補充和完善.現摘抄文[1]如下：

例1 (2016年新課標Ⅱ文科)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(Ⅰ)略；(Ⅱ)若當x∈(1,+∞)時，有f(x)>0，求a的取值范圍.

例2 若當x∈R時，f(x)=x2-a>0，求a的取值范圍.

解：f(x)>0?x2>a.易知x2>-1，因為x2>a，所以a≤-1.

易知例2的解法是錯誤的，不等式x2>a恒成立等價于函數y=x2在R上的最小值大于a，即a<0.類似的，文[1]中例1的解法不嚴謹.

2 問題的探究

3 問題的別解及推廣

現給出文[1]中例1的一個別解.

綜上所述，a≤2．

此解法進行推廣，得下面的結果【2】. 值得注意的是，這些結論都可以推廣至n階導數．

定理假設函數f(x)在[a,b]上可導，f(x)>0(f(x)≥0)在(a,b)上恒成立，且f(a)=0，則存在h∈(0,b-a]，使得f′(x)>0(f′(x)≥0)在(a,a+h)上恒成立．此時，f′(a)≥0．

推論1 假設函數f(x)在[a,b]上二階可導，f(x)>0(f(x)≥0)在(a,b)上恒成立，且f(a)=f′(a)=0，則f″(a)≥0．

推論2 假設函數f(x)在[a,b]上二階可導，f(x)<0(f(x)≤0)在(a,b)上恒成立，且f(a)=f′(a)=0，則f″(a)≤0．

推論3 假設函數f(x)在[a,b]上二階可導，f(x)>0 (f(x)≥0)在(a,b)上恒成立，且f(b)=f′(b)=0，則f″(b)≥0．

推論4 假設函數f(x)在[a,b]上可導，f′(x)在(a,b)上單調遞增，且f(a)=0；那么f(x)>0(f(x)≥0)在(a,b)上恒成立?f′(x)>0(f′(x)≥0)在(a,b)上恒成立．此時,f′(a)≥0．

證明：(?)由定理可知：存在h∈(0,b-a]，使得f′(x)>0在(a,a+h)上恒成立．又因為f′(x)在(a,b)上單調遞增，所以f′(x)>0在(a,b)上恒成立．

(?)因為f′(x)>0，所以f(x)在(a,b)上單調遞增，從而f(x)>f(a)=0在(a,b)上恒成立．

推論5 假設函數f(x)在[a,b]上可導，f′(x)在(a,b)上單調遞增，且f(b)=0；那么f(x)>0(f(x)≥0)在(a,b)上恒成立?f′(x)<0(f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立．此時,f′(b)≤0．

4 應用舉例

例3 (2018年新課標Ⅲ理)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)略；(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

同理，考慮x=0的右側，存在x2<0，使得g(x)=f′(x)≤0在(0,x2)上恒成立，且g(0)=g′(0)=0，由推論2可知g″(0)≤0.