探究一道數列遞推問題的命制策略

江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

筆者最近在高三復習中，遇到一道數列遞推問題，很難處理，后來發現2017年就曾相遇，但沒有及時思考總結，落筆成文，所以此次決定對其解法進行剖析與總結，同時進一步思考該題是如何命制的，還有哪些命制數列遞推關系式的角度.

題目(2017屆南通市二模·20)設數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且滿足：①|a1|≠|a2|；②r(n-p)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1，其中r，p∈R，且r≠0． (1)求p的值；(2)數列{an}能否是等比數列？請說明理由；(3)求證：當r=2時，數列{an}是等差數列．

一、題之解

解：(1)n=1時，r(1-p)S2=2a1-2a1=0，因為|a1|≠|a2|，所以S2≠0，又r≠0，所以p=1．

(2)略；

當n=3時，a4=3a3-3a2+a1?a4-2a3+a2=a3-2a2+a1=0，

(思路2)2(n-1)bn+1=n(n+1)bn-n(n-1)bn-1①，當n=3時，b4=3(b3-b2)=2b3+b3-3b2=2b3-b2，所以b4+b2=2b3，當n≥4時，2(n-1)(n-2)bn=(n-1)nbn-1-(n-1)(n-2)bn-2②，①-②得2(n-1)(n-2)(bn+1-2bn+bn-1)=(n-1)·(n-2)(bn-2bn-1+bn-2)，又b4-2b3+b2=0，所以bn-2bn-1+bn-2=0，n≥4，又b3-2b2+b1=0，所以?n≥3,bn-2bn-1+bn-2=0，所以{bn}是等差數列，所以{an}是等差數列.

反思：證明等差數列兩種方法一是利用定義，即尋找相鄰兩項的關系；二是利用等差中項，即尋找相鄰三項的關系.此題中第一步需要消去Sn+1，第二步的想法是將a1消去，直接作差相減需要減三次才可以將常數項a1消去，所以將a1前面的系數除去，直接一次相減便可以消去a1，從而得到相鄰三項的關系式，若三項看不出，進而尋找相鄰四項間的關系.遞推關系處理等差(等比)數列問題的三種常見思路：(1)Sn與an之間的轉化；(2)構造常數列過渡，得出通項，得到等差(等比)數列；(3)消遞推關系中的常數，得相鄰項關系．

二、題之思

上述遞推關系式是如何構造的？命題者是從什么角度出發進行怎樣命制的呢？

事實上，由d=d?nd=nd，利用通項公式隱藏公差d，因為nd=an+1-a1，nd=(an+1-an)，所以an+1-a1=n(an+1-an)?(n-1)an+1=nan-a1①，通過前n+1項和公式隱藏an+1，即先在①式兩邊同時加上(n-1)a1，再同時乘上n+1，即得(n-1)(n+1)(an+1+a1)=(n+1)nan+(n-2)(n+1)a1，即2(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1，上述每一步都是等價的轉換的前提是{an}是等差數列，考慮其逆命題，證明{an}是等差數列.

三、題之究

還有哪些構造遞推關系式證明等差、等比數列的方法呢？通過對相關問題的歸納總結，歸結以下三種常用構造角度.

(一)由等差等比通項與前n項和公式構造

題2 已知各項互不相同的數列{an}，an≠0,n∈N*，前n項和為Sn，滿足(an-an+1)Sn=(a1-an+1)an，求證：{an}是等比數列.

(二)由具體的數列通項與和公式構造

題4 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，a2=2,a3=3，且滿足?m,n，2Sm+n=S2m+S2n-(m-n)2，求數列{an}的通項公式.

解：令m=1得2Sn+1=S2+S2n-(1-n)2①，令m=2得2Sn+2=S4+S2n-(2-n)2②，②-①得2an+2=a3+a4-(2n-3)=a4+2n，令m=1,n=2得2(1+2+3)=(1+2)+(6+a4)-1，所以a4=4，an+2=n+2，又a1=1，a2=2,a3=3，所以an=n.

4.已知an=2n-1，Sn=2n-1.

題6 已知各項均為正數的數列{an}，其前n項和為Sn，a1=1，a2=2，a3=4，且滿足(Sm+n+1)2=(S2m+1)(S2n+1)，其中m,n為任意的正整數，求數列{an}的通項公式.

解：因為an>0，所以Sn>0，Sm+n+1=

(三)利用等差、等比數列的性質構造

5.在等差數列{an}中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，特別地an-1+an+1=2an，an-2+an+2=2an，思考已知an-2+an-1+an+1+an+2=4an，能否證明{an}是等差數列，顯然不能判斷，若再滿足an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，可得：

題7 (2017年江蘇高考)對于給定的正整數k，若數列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”． 若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，求證：{an}是等差數列．

題8 已知數列{an}的前n項和為Sn，若?m,n∈N*，(n-m)Sm+n=(n+m)(Sn-Sm).求證：數列{an}為等差數列.

證明:令m=1可得(n-1)Sn+1=(n+1)(Sn-S1)，整理可得2Sn=(n-1)an+1+(n+1)S1①，當n≥2時，2Sn-1=(n-2)an+nS1②，①-②得2an=(n-1)an+1-(n-2)an+S1，整理可得nan=(n-1)an+1+S1③，當n≥3時，(n-1)an-1=(n-2)an+S1④，③-④得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0，因為n-1≥2，所以當n≥3,an+1-2an+an-1=0，③式中取n=2，可得a3-2a2+a1=0，所以對?n≥2，an+1-2an+an-1=0恒成立，所以數列{an}為等差數列.

命題是一項復雜的系統工程，對命題的認識與理解需要不斷實踐思考與總結.作為教師，面對試題不能僅僅滿足于如何去解，更應思考眾多優美的試題是如何命制的.了解試題背后的命題思路與想法，才能對其有更深的理解，從而有針對性的進行變式練習，真正提高學生的數學素養.