《數學通報》第2562號問題的探究

重慶三峽學院數學與統計學院 (404000) 胡 艷 程鳳娟 陳曉春

《數學通報》2020年9期數學問題2562給出了不等式：已知a,b,c>0滿足a+b+c=3，則

1．不等式(1)的證法探究

分析1：不等式(1)的左端和不等式(2)的左端結構類似，因此，直接利用不等式(2)有：

分析2：若注意到不等式(1)的左端分子分母的結構，將不等式(1)的左端簡化，再利用基本不等式及不等式(2)則有：

分析3：不等式(1)的左邊由三項組成，對每一項利用基本不等式，再相加則有：

2．不等式(1)的變式探究

從證明2的過程可知，已證得下述兩個不等式：

對不等式1及不等式2的分母變式有

若針對條件做變換a→a2,b→b2,c→c2，則有：

對分母的項利用基本不等式又有：

顯然，不等式(1)的變式還可通過換元，輪換等方式得到更不多的不等式．

3．不等式(1)的推廣探究

推廣是數學問題探究中的一種常用的思維方式，其途徑有一般化，指數推廣，元素個數推廣等．

3.1 將常數一般化

3.2 將元素個數推廣

…………

不等式(8)—(13)證明思路完全相同，下面只給出不等式(13)中最后一個不等式的證明．

證明：記不等式13中第(n-2)個不等式的左端為M，利用不等式 (2)及平均值不等式則有

≥(λ1+λ2)·