一個(gè)Milosevic不等式的再研究

重慶市鳳鳴山中學(xué) (400037) 王 彬 西大兩江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (400707) 蘇 鵬重慶市融匯沙坪壩小學(xué) (400038) 宋雪珠

三角形是最基本的幾何圖形，其存在豐富的幾何關(guān)系和不等式，其中Milosevic不等式就是其重要結(jié)論. 自Milosevic不等式建立之后，其推廣形式層出不窮. 本文在前人得出的結(jié)論之上，充分應(yīng)用三角形中的恒等式與Bottema基本不等式推出了Milosevic不等式的一個(gè)逆向不等式以及Milosevic不等式的一個(gè)加強(qiáng). 另外，本文利用Gerretsen不等式還給出了一個(gè)形式更加簡(jiǎn)潔的不等式鏈：

1. 引言

設(shè)△ABC的三邊邊長(zhǎng)為a,b,c,三條邊上的高及旁切圓半徑分別是ha,hb,hc,ra,rb,rc,外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別是R,r,半周長(zhǎng)和面積分別是p,S,循環(huán)和與循環(huán)積分別表示為∑,Π.

文獻(xiàn)[1]介紹了由D.S. Milosevic建立的如下不等式：

姜衛(wèi)東老師在文獻(xiàn)[2]和[3]中對(duì)Milosevic不等式進(jìn)行了研究，得到如下定理：

定理1[2]在△ABC中，有

定理2[3]在△ABC中，有

最近，郭要紅老師對(duì)Milosevic不等式進(jìn)行了進(jìn)一步探討，得到了兩個(gè)更加一般的不等式.

定理3[4]在△ABC中，有

定理4[4]在△ABC中，有

受到文獻(xiàn)[2]-[4]的啟發(fā)，筆者對(duì)Milosevic不等式進(jìn)行了再研究，得到了不等式(1)的一個(gè)逆向不等式以及不等式(1)的一個(gè)加強(qiáng). 另外，本文應(yīng)用Gerretsen不等式還給出了一個(gè)形式更加簡(jiǎn)潔的不等式鏈.

定理5 在△ABC中，有

(5)

定理6 在△ABC中，有

(6)

注：定理1-6中，不等式等號(hào)成立的條件是△ABC是正三角形.

2. 引理

為了證明定理5和定理6，需要給出如下引理.

引理1[5]在△ABC中，有∏a=4pRr;

∑ab=p2+4Rr+r2;∑a2=2(p2-4Rr-r2).

注：利用引理1可得如下恒等式[4]：

注：為了方便定理5和定理6的證明，這里需要將引理2中的不等式進(jìn)行變形，得到

引理3 (Gerretsen不等式)[5]在△ABC中，有16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2.

注：引理2-3中，不等式等號(hào)成立的條件是△ABC是正三角形；Bottema基本不等式是Gerretsen不等式的加強(qiáng).

3. 結(jié)論的證明

4. 注記