一組高考試題引發(fā)的思考

甘肅省蘭州市第二十七中學(xué) (730030) 陳鴻斌

1 問題呈現(xiàn)

問題1 (2020全國Ⅱ卷文21)已知函數(shù)f(x)=2lnx+1.

(1)若f(x)≤2x+c，求c的取值范圍；

問題2 (2020天津卷20)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

筆者發(fā)現(xiàn)問題1的第(2)問與問題2的第(2)問滲透了高等數(shù)學(xué)背景——Lagrange中值定理、以及函數(shù)的凹凸性. 以高等數(shù)學(xué)知識為背景命制高考題在十年前曾是個熱點, 今年又重新體現(xiàn), 而且有了新高度、 新角度, 推陳出新, 價值豐富. 雖然試題的設(shè)計來源于高等數(shù)學(xué), 但是解決的方法仍是高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識, 對學(xué)生思維的邏輯性、抽象性以及學(xué)生的理解能力和自學(xué)能力提出了更高的要求, 著力考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 高等數(shù)學(xué)背景解讀

問題1和問題2的第(2)就具有《數(shù)學(xué)分析》[1]中“Lagrange中值定理”的背景．

圖1

幾何意義：曲線在x=ξ處的切線與(a,f(a))和(b,f(b))的連線平行, 或者說, 曲線在x=ξ處的切線斜率與(a,f(a))和(b,f(b))的連線斜率相等. 如圖1所示.

圖2

問題2的第(2)還具有《數(shù)學(xué)分析》[1]中函數(shù)的凹凸性的背景．

定理設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo), 則f(x)在[a,b]是凸的充分必要條件是?x∈(a,b)有f″(x)≥0.特別地, 若此時在(a,b)中有f″(x)>0, 則f(x)在[a,b]是嚴(yán)格凸的.

幾何意義: 曲線落在(a,f(a))和(b,f(b))的連線的下方. 如圖2所示.

3 問題解答

點評：上述問題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、導(dǎo)數(shù)、含參不等式恒成立、不等式證明等基本知識, 考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力. 作為一線的中學(xué)教師, 看到本題的表達(dá)形式, 應(yīng)當(dāng)要能夠領(lǐng)悟命題者的設(shè)計意圖, 背景來源于Lagrange中值定理、函數(shù)的凹凸性. 因此本題體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)之間較好的銜接, 很好地考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能, 有利于高校選拔人才. 從筆者給出的中學(xué)解法和高等解法可以看出, 利用中學(xué)解法, 運算量大, 而且還要借助于第(1)問中所得結(jié)論才能實現(xiàn)第(2)的求解, 因此第(1)問的正確解答對第(2)問至關(guān)重要; 而利用高等解法第(2)就會變的獨立, 通過Lagrange中值定理、函數(shù)凹凸性可以將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 使得運算量大大降低, 從而優(yōu)化解題思路. 總之, 運用Lagrange中值定理、函數(shù)凹凸性求解上述題目的第(2)問, 比高考參考答案的解答簡便許多, 換個角度, 將問題會看的會更加透徹.