一類與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題解法探究

江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué) (337016) 滕金平

高考導(dǎo)數(shù)壓軸題由于其思維難度大，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的能力要求高，一直以來(lái)許多學(xué)生都難以突破，本文以與三角函數(shù)交匯的一類導(dǎo)數(shù)壓軸題為例來(lái)對(duì)其解法進(jìn)行探究.

1.利用三角函數(shù)的有界性，即|sinx|≤1和|cosx|≤1，作為解題的突破口

評(píng)析：本題以三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)交匯作為研究的載體，打破了常規(guī)，考慮直接用數(shù)形結(jié)合很難解答出來(lái)，進(jìn)而嘗試求導(dǎo)，由于求導(dǎo)會(huì)出現(xiàn)含三角函數(shù)的表達(dá)式，使用常規(guī)方法處理后續(xù)問(wèn)題變得困難.本題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的隱零點(diǎn)的掌握以及根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)探討函數(shù)極值點(diǎn)的能力；對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)能力要求較高.

(2)若a≥0,討論函數(shù)y=f(x)+g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

綜合以上情況,當(dāng)a≥0時(shí)函數(shù)f(x)+g(x)有1個(gè)零點(diǎn)．(當(dāng)然此題也可分區(qū)間(01],(1,e],(e,+∞)討論.)

2.利用x∈(0,+∞)時(shí),等放縮結(jié)論來(lái)證明

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=x-asinx(a>0).

(1)若函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

改編2 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+cosx.

(2)證明：4sinx+2xlnx-3x2-1<0.

點(diǎn)撥：本題第(1)問(wèn)比較簡(jiǎn)單，對(duì)第(2)問(wèn)4sinx+2xlnx-3x2-1<0考慮直接將左側(cè)構(gòu)造函數(shù)，但無(wú)法求出其單調(diào)區(qū)間和最值(導(dǎo)函數(shù)中含有sinx和lnx無(wú)法進(jìn)一步計(jì)算)，故考慮將sinx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，嘗試?yán)脇sinx|≤1得到3x2-2xlnx+1>4,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)等常規(guī)解法發(fā)現(xiàn)也無(wú)法證明，想到x>0故采用x>sinx進(jìn)行放縮，放縮后結(jié)果得以證明.

導(dǎo)數(shù)壓軸題多以初等函數(shù)的組合形式為載體，設(shè)問(wèn)一般為學(xué)生熟悉的切線問(wèn)題、單調(diào)性問(wèn)題、極值問(wèn)題、最值問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、證明不等式問(wèn)題等.在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)多讓學(xué)生自主進(jìn)行探究和總結(jié)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，能做到一題多解、多題一解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸、函數(shù)與方程、分類討論等思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的能力.