題中無圓心有圓 圓來就這么簡單

福建省莆田第二中學 (351131) 盧 妮 蔡海濤

研究近年高考數學試題，發現解析幾何對“橢圓”和“拋物線”的考查難度有所下降，“直線與圓”的地位大幅度提升，具有數學文化背景的題目層出不窮.其中，有一類圓的問題在已知條件中沒有直接給出圓的有關信息，而是隱藏在條件中，需要通過分析轉化，從而發現圓(或圓的方程)，進而利用圓的知識求解，這類問題稱為“隱形圓”問題．比如“蒙日圓”、“阿波羅尼斯圓”等.“隱形圓”問題綜合性強，充分考查了學生數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，學生答題有一定的難度.本文以幾道高考題和模擬題為例，探尋“隱形圓”問題求解策略.

一、利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱形圓

例1 若與點A(2,2)的距離為1且與點B(m,0)的距離為3的直線恰好有兩條,則實數m的取值范圍為.

點評：本題根據圓的定義得到隱圓，得到以點A(2,2)和點B(m,0)為圓心的兩個圓，這是本題的關鍵，進而由已知條件得兩圓位置關系，從而求得m的取值范圍.

二、到兩定點距離的平方和為定值確定隱形圓

點評：本題關鍵在于確定動點M的位置，根據點M到點A和點O的距離的平方和為定值，從而確定隱圓，突破了本題難點.

三、動點P對兩定點A、B張角是90°(kPA·kPB=-1或確定隱形圓

例3 (2014年高考四川卷文9)設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P，則PA+PB的取值范圍是( ).

點評：本題解題的突破口是發現兩條動直線的關系，由kPA·kPB=-1確定隱圓，得到P點軌跡，結合不等式性質求解.

解析：由已知得以AB為直徑的圓與圓C有公共點，易求得m的取值范圍為[4,6].

四、兩定點A、B,動點P滿足確定隱形圓

五、兩定點A、B,動點P滿足確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)

六、由圓周角的性質確定隱形圓

點評：∠AOB=2∠C=90°知點C在以O為圓心，半徑OA,在優弧AB上.

圖1

變式6 如圖1,四邊形AOCB,OA⊥OC,CA⊥CB,若AC=2,CB=1,則OB的取值范圍是.

由以上例題分析可知，“隱圓”問題著重考查化歸與轉化的思想在解題中的運用，解決方法就是分析已知條件，從條件出發探求動點軌跡，把隱形軌跡顯性化，從而發現圓，然后利用圓的知識求解問題.