過程性變式視角下數學抽象素養的培養
——以2020全國高考數學卷Ⅰ理科20題為例

江蘇省灌南高級中學 (222500) 翟海軍 劉鑫鈞

一、試題及母題呈現

1.試題再現

2.解法探究

這道題并非空中樓閣，事實上此題無論在條件、結論、解法等方面均與下面這道江蘇高考題非常吻合.

3.母題呈現

二、問題提出及解決

解題教學不能停留在就題論題的層面，而應該通過對一道或幾道試題的探究實現對一類問題的解決，這就需要引導學生進一步深入思考：上述兩道高考題之間的聯系是什么？能否抽象出更一般的模型？怎樣從數學問題中抽象數學模型？有哪些模型？模型之間的聯系與區別是什么？只有解決了這些問題才能使學生理順思路，開闊視野，實現對問題的深度理解，從而使數學抽象素養在課堂教學中真正落地.本文以2020全國Ⅰ卷理科20題為例，探索如何在過程性變式視角下提高學生在模式識別、模式提煉、模式整合等方面的能力從而培養學生的數學抽象素養.

1.運用圖式表征實現模式識別

《普通高中數學課程標準(2017)》(以下簡稱《標準》)指出，高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.這樣在課堂教學中要善于引導學生用數學語言表征問題，繼而抽象出一般規律和結構.這里將2020全國Ⅰ卷理科20題記為試題1，2010江蘇高考18題記為試題2.試題1用圖1來表征.試題2用圖2來表征.

圖1

圖2

通過對圖1與圖2中橢圓位置形態及點、線之間關系的觀察與比較，學生很容易發現兩個問題的一致性：兩個題目都是過橢圓外一條垂直于x軸的直線上一動點，連接該動點與橢圓的左、右頂點，然后得到兩條直線，這兩條直線分別與橢圓相交于另外兩點，最后都是證明：過兩點的直線必定經過平面內一定點. 問題的相似性激發著學生對問題模型的提煉，從而抽象出以下一個基本的模型.

2.立足過程性變式逐級抽象模型

《標準》要求，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁.那么在平常的解題教學中如何落實呢？過程性變式教學是落實目標的一種有效方式.

顧泠沅等學者把變式教學分為概念性變式和過程性變式教學兩類.概念性變式教學突出對概念內涵的理解，過程性變式教學突出對概念外延的應用，注重知識之間的聯系和拓展，通過過程性變式教學，使數學教學有層次地遞進[1]. 利用過程性變式可以對一個初始問題進行變式，繼而提出數學命題和模型，從而使得數學抽象素養在課堂教學中落實.

(1)改變直線位置 抽象定點模型

在教學過程中，可以讓同學們思考試題1中動點P在變化過程中不變的是什么？在學生發現點P始終在一條豎線上運動后，順勢追問：你認為點P還可以在哪運動，哪些地方需要做相應的改動，學生容易想到將豎線變為橫線，基于對稱性，長軸的端點需改為短軸的端點，從而得到下面這個變式.

變式1中的點P是在一條橫線上運動，但是直線MN仍然過一定點.基于對數學問題統一性的追求，可以向學生提問：你能將這兩種情況概括一下嗎？由此抽象出模型2.

(2)轉換條件與結論 抽象定線模型

探索問題的腳步可以繼續下去，在模型2中點P在定線上，最后發現直線MN過定點，概括起來就是：定線產生定點.因此可以追問學生：反過來我們還可以研究什么問題？讓學生獨立思考，大膽猜想，合作交流，學生提出這樣一個問題：如果直線MN過定點，那么AM與BN的交點是否在一條定直線上？

事實上，這個結論是正確的,而且定直線恰好為x=6，這時教師可以追問：如果點Q為y軸上一定點，是否也有相應的結論？最后基于追求問題的統一性，教師可以向學生提出一個問題：你能將上述兩種情況的結論概括一下，從而抽象出模型3.

(3)整合相關問題 抽象定值模型

通過對試題1的不斷抽象，引導學生提煉出定值、定點、定線三類模型，讓學生對問題有了進一步深入的理解，提高了學生對這三類模型之間的聯系與區別的認識，使得數學抽象素養在課堂教學中得以有效的滲透.

三、結語

教師在平常的解題教學過程中不僅要讓學生獲得問題的解決，更應當培養學生對一類問題解決的能力，這就需要培養學生的數學抽象素養.運用過程性變式可以讓學生感悟共相，提煉本質，提高學生對一類問題模型的識別與概括能力，從而使得學生的數學抽象素養在解題教學中得以落實.