黃沙百戰穿金甲 不破樓蘭終不還*
——拙文[1]“知其然，更要知其所以然”反思

福建省廈門第一中學 (361003) 王淼生福建省廈門市五顯中學 (361100) 葉建聰

1 原題再現

文[1]對學生胡億權提出的一道試題進行了初步探究．為了便于后續論述，再將原題呈現，原題如下(以下簡稱案例1)：

案例1 已知函數f(x)=x3+ax+b定義域為[-1，2]，記|f(x)|的最大值為M，則M的最小值為( ).

無獨有偶，前不久我校作業也出現這樣一道試題，原題如下(以下稱案例2).

對于案例2，備課組提供以下參考答案：

記y=f(x)(x∈[-1，2])的最大值為M(a，b)，由題意可知m≤M(a，b)對任意的實數a，b恒成立，所以m≤M(a，b)min．

顯然，M(a，b)≥f(x)(x∈[-1，2])，分別取x=-1，x=0，x=2得

6M(a，b)=2M(a，b)+3M(a，b)+M(a，b)

≥|-6+2a-2b|+|-3-3b|+|-2a-b|

≥|(-6+2a-2b)-(-3-3b)+(-2a-b)|=3

2 形異質同

學生胡億權仿照上述提供的案例2解答過程，重新構思案例1：

記y=|f(x)|(x∈[-1，2])，由題意|f(x)|最大值為M，由于含有參數a，b，因此此處M即為M(a，b)，設M(a，b)的最小值為m，則m≤M(a，b)對任意的實數a，b恒成立，所以m≤M(a，b)min，……

案例2與案例1看似表現形式不盡相同(案例1求最小值；案例2求取值范圍)，但其本質卻是一樣，因此案例2再一次引起筆者高度關注．

3 激烈討論

備課組長周翔老師及時將學生反饋的信息匯總，并根據案例2的外形結構與本質特征，以視頻的方式向高三全體學生展現數形結合的剖析過程，其解答過程正是本文后續第9部分“簡捷解答”中“第9．2部分：妙解案例2”的雛形．

4 理論依據

回顧拙文[1]，僅僅只是立足高中數學知識層面，借助特殊值(即賦值法)的視角就事論事而已．冷靜思考，以目前中學知識，確實很難再找到其它通性通法來處理類似于案例1、案例2等這類試題．哪命題專家如何能夠命制出妙不可言的案例1與案例2？命題出發點是什么？究竟要考查什么知識點？理論依據又是什么？正是受到周老師的啟發以及學生孫睿的提醒，筆者聯想到近年來各級各類考試中、試卷里頻頻出現的“高觀點”試題．

4．1 “高觀點”試題

所謂“高觀點”試題，是指與高等數學密切相關的數學試題．這類試題或借助高等數學知識為理論背景，或體現高等數學中常用的數學思想，或運用高等數學成熟的推理方法．“高觀點”試題主要表現形式為：語言敘述“高觀點”，知識背景“高觀點”，能力方法“高觀點”，等等．“高觀點”試題命題策略：高等數學初等化、初等數學高等化及初高等數學交匯化．通俗地講，高等數學“搭臺”，高中數學，甚至初中數學乃至小學數學“唱戲”．

毋容置疑，部分高等數學知識的引入，為我們解決初等數學許多問題提供了方法指導與理論依據(比如，引入導數為研究初等函數性質如虎添翼)，而且恰當的、適度的“高觀點”試題有利于和諧初等數學與高等數學知識無縫對接，有助于提高學生獨立分析問題與解決問題能力，有益于優化學生數學思維品質與培養數學學科核心素養．

4．2 “高觀點”理論

(1)拉格朗日中值定理

評注：盡管中學沒有明確教授拉格朗日中值定理，但是中學生很容易接受拉格朗日中值定理.因為拉格朗日中值定理幾何意義特別明顯：滿足條件的函數f(x)的曲線上至少存在一點，過該點處的切線與該曲線兩個端點的連線平行.

(2)函數凸凹性定義

若f(x)是定義在區間I上的連續函數，對任意實數x1，x2∈I，且0<λ<1，總有f[λx1+(1-λ)x2]≤(或≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為定義在區間I上的下凸(或上凸)函數．

由定義可知f(x)為區間I上的下凸(或上凸)函數?f′(x)為定義在區間I上的增(減)函數?f(x2)≥(≤)f(x1)+f′(x1)(x2-x1)?f″(x)≥0(f″(x)≤0)恒成立．

(3)切比雪夫最佳逼近直線

設A={g(x)=ax+b|a∈R，b∈R}，若存在函數g0(x)∈A使得對任意g(x)∈A，恒有

當然，①還可以寫成等式形式，即

4．3 命題依據

由切比雪夫最佳逼近直線定義，并結合拉格朗日中值定理及函數凸凹性定義得到以下基本結論：

結論1 若f(x)是定義在區間[m，n]上的連續函數，且f″(x)在區間(m，n)上不變號，則f(x)最佳逼近直線存在且唯一.

結論2 直線g(x)是連續函數y=f(x)(x∈[m，n])的最佳逼近直線的充要條件是g(x)至少具有三個偏差點，且它們依次輪流為正負偏差點.

結論3 若f(x)是定義在區間[m，n]上具有二階導數，且f″(x)在區間(m，n)上不變號，則f(x)最佳逼近直線為

(2)顯然，③與④等價．其實上結論3為精準求出最佳逼近直線(或者說解答這類試題)提供了具體的操作步驟：首先，求出區間兩個端點A與B連線的斜率kAB及直線(割線)AB的方程；其次，通過求導f′(t)=kAB，準確找到與直線AB平行的切線的切點C(t，f(t))及切線CG方程；再次，連接AC(或BC)，取AC中點為D(或BC中點為E)；過D(或E)且平行直線AB的直線就是所求的最佳逼近直線DE，即上述③(或④)；最后，直線DE與直線AB或者直線DE與切線CG之間的“落差”就是偏差最大值的最小值．

5 試題特點

5．1 案例1與案例2特點

5．2 試題特點歸納

這類試題主要特點：由定義在閉區間[m，n]上的連續且可導函數h(x)，且h″(x)不變號(或者在相應區間上，與區間端點連線平行的曲線切線是唯一的)；含有兩個參變數的一次函數φ(x)=ax+b，它們構造的函數ω(x)=|h(x)-φ(x)|，求函數ω(x)的最大值的最小值．通過上述剖析，說明拉格朗日中值定理、函數凸凹性、切比雪夫最佳逼近直線及上述結論正是專家命制案例1與案例2的“高觀點”理論依據．據此說明上述案例1與案例2完全符合上述偏差定義，也就是說，我們完全可以按照上述結論3來破解案例1與案例2．

5．3 妙解案例1及2

依據上述“高觀點”理論依據與上述結論3操作步驟可知：端點A(-1，-1)，端點B(2，8)，則kAB=3，此時直線(割線)AB方程為y=3x+2．又因為kAB=f1′(t)(t∈(-1，2))?t=1(t=-1舍去)．故切點C(1，1)，此時切線方程為y=3x-2．線段AC中點D(0，0)，最佳逼近直線為y=3x．無論是y=3x-2與y=3x，還是y=3x+2與y=3x偏差的絕對值均為2，此時案例1中的g1(x)=3x，所求M的最小值為2，故選C．

6 終破樓蘭

6．1 是否滲透高等數學背景？

從文[1]及上述剖析過程不難看出案例1與案例2確實屬于“高觀點”試題，與拉格朗日中值定理、函數凸凹性以及切比雪夫最佳逼近直線等高等數學知識、方法相關，可以猜想案例1與案例2就是依據上述這些高等數學知識而命制的，主要考查切比雪夫最佳逼近直線等相關知識與解題方法．鑒于平時教學中沒有滲透這些高等數學知識，因此部分同學沒有弄懂案例2的本質，不會解答這類試題，也屬正常現象．

6．2 區間相同是偶然還是必然？

由案例1與案例2的簡捷解答過程可知，命題專家在保證函數連續、可導等條件的前提下，之所以選擇區間[-1，2]，應該是出于考慮計算簡單，沒有其它用意，完全可以給定其它區間，只不過運算量大一些而已．至于案例1與案例2給出相同的區間[-1，2]，純屬偶然，沒有必然聯系．也就是說，設置的區間必須滿足閉區間、函數有意義、連續、二階導數不變號及便于計算即可．

6．3 能否破解文[1]“未解之謎”？

沒有規矩則沒有方圓，數學更是如此．從上述拉格朗日中值定理、函數凸凹性以及結論3便知，這些定理與結論都是在設置相應的閉區間的前提下而得到的．也就是說我們首先連接所給區間端點線段，就是為了從整體上把控所要研究的整段曲線．如果首先不控制區間端點，顯然失去研究意義與價值，這就解釋了特殊值為何一定要取區間端點，也回應了拙文[1]結尾提出的“未解之謎”．

6．4 是否特殊值越多越準確？

如果我們把取閉區間兩個端點的值看作第一個、第二個特殊值，那第三個特殊值如何取？可以任意取嗎？還需要取第四個特殊值嗎？是不是特殊值越多就越準確？

需要特別指出的是：結論3之所以要求“f″(x)在區間(m，n)上不變號”，其目的在于確保與區間[m，n]端點連線平行且與曲線相切的切線唯一(切點唯一)，從而確保函數f(x)最佳逼近直線是唯一的(比如案例2)．值得特別說明的是，這一條件只是充分并非必要條件．比如案例1中的函數y=x3，其二階導數y″=6x在(-1，2)變號(可正可負)，但其在x∈(-1，2)內切線只有一條，即本文5.3部分“案例1解答”中的唯一切點的橫坐標x=1，同樣能夠確保該函數的最佳逼近直線依然唯一．

本文與拙文[1]形成姊妹篇．筆者從中數視角(賦值法)及高數視野(高觀點)雙管齊下，相互輝映，圓滿解決了類似于案例1、案例2這類問題(最佳逼近直線)，正所謂“黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還．”