尋找解題思路的教學思考
——以一道多解的典型幾何題為例

重慶市育才中學校 (400050) 何貽勇重慶育才成功學校 (400050) 羅 靜

學生面對一道數學題是怎么想的？教師給出一道數學題是怎么教學生想的？怎么和學生一起進行思維的碰撞，一起尋找解題思路，是教研備課的一個重要課題．切忌拿到題后就就題講題，一講到底，應該重點是激發學生思維，給學生營造一個良好“思維場”，讓學生處于“不憤不啟、不悱不發”的狀態中．

一、例題呈現

題目如圖1，在△ABC中，BC=6，AB=2AC，求△ABC面積的最大值．

圖1

教學思考：本題中動點A的位置決定了△ABC面積的大小，即面積隨著A點的變化而變化，如何找出能描述面積與A之間的變化規律的函數關系呢？首先要解決的問題是用什么量來描述A點的變化，聯想三角形的面積公式，并找到A點位置與AB、AC的長度、與A點在滿足的關系時A到直線BC的高、A點的橫縱坐標等等有關．

呈現了一道題時，教師應先引導學生不要急于求解，而是先標注已知條件和基本事實，批注二級結論等等讀懂題意，如本題中應讀出A點的位置在一定條件下是變化的，△ABC的面積也會相應有變化．再思考怎么解答問題，△ABC的面積大小受到了A點位置影響，這樣的函數關系何在呢？于是有了以下幾種解法：

二、多種解法

圖2

還有什么量可以描述A點的位置呢？利用已學知識可知可用平面直角坐標系中的有序數對來描述A點的位置，于是有了以下解法二：

圖3

解法二：(利用坐標系求縱坐標建立二次函數模型)如圖3，建立平面直角坐標系，不妨設B(0,0)、C(6,0)、A(a,b)，其中4≤a≤12,b>0.因為AB=2AC，所以AB2=4AC2，則a2+b2=

利用方法一的思路可設AC=a，則AB=2a(a>0)，那么一個三角形的三邊都為已知，只需要利用三邊來表達三角形的面積就可以了，得到了解法三．

已知一個三角形的三邊可以表達三角形的面積，只需要再使用一種面積表達公式就可以，于是從腦海里搜索到了海倫公式，通過面積表達式發現了二次函數及其表達式，根據表達式的特征還發現了使用均值不等式更快捷地求出了面積的最大值．

解法四：(利用海倫公式建立二次函數模型)設AC=a，則AB=2a(a>0)，由海倫公式得

通過前面的解題過程，既然A點的位置決定了△ABC的面積大小，那到底什么時候△ABC面積最大呢？只需要找到△ABC的面積取最大值時A點的位置就可以了．學生們開始獨立思考起來，但未果．

圖4

三、課后反思

解題教學活動開展前應充分準備如下三個方面：一是夯實基礎知識，熟悉數學知識之間的本質聯系，比如對概念、定理、運算規則、公式發生、發展、運用過程條理清晰，只有堅實的“基樁”，解題活動才有意義；二是掌握數學基本模型、基本解題模塊、命題聯想系統、“反應塊”、基本解題的思維痕跡，積累基本解題活動經驗，歸納總結數學推理、數學運算中的算法、算理的基本特征，掌握一類題問題的通性通法，能為進一步提高解題能力服務！三是解題技巧到解題方法的提煉，從解題方法到解題思想的提升，甚至是到解題的理念、信念形成，是在長期的解題過程中高度概括、抽象的過程，反過來能促進更深刻地理解數學知識，理解數學問題、理解數學文本，有利于數學的發現、創造與再創造．

本節課利用函數思想解三角形面積最值問題，是非常常見的方法，當然對二次函數解析式求最值的處理辦法也可以靈活多變．尋找變量面積與描述點的一個變量之間的函數關系式是解決問題的關鍵所在，聯想三角形面積公式為解題思維過程服務．本題看似簡單，但是解法多樣、包羅萬象，不止以上五種解法，尋求描述變化關系的函數關系為出發點，得出了以上解題方法，有助于學生的發散思維培養，有助于學生更加深刻地理解數學問題的解題本質，以提高學生解題能力．

教研思考與建議：尋找解題思路的習題教學課中，解題思路和計劃是如何想出來的？以幫助學生學會“怎么想”，執行解題計劃時應注意哪些問題？以幫助學生學會“怎么做得更好”，希解題后通過“反思”“點撥”及時總結經驗，力求透過解法洞察數學本質，通過巧解、妙解，化繁為簡，達到舉一反三！觸類旁通！融會貫通！同時，解題思路由來講解技巧、講解原則課后訓練和反饋都應專題教研，以期更好地上好習題課．比如解題教學中的重點就是激發學生的思維，而如何圍繞數學題本身的特征，恰當地施以教學引導，讓整個課堂達到“不憤不啟、不悱不發”的狀態的具體思考是什么？解題教學活動的課后訓練如何以以上準備方面的各個點來系統地、序列化地開展等等．