開發內隱性課程資源 提高課堂教學有效性
——函數單元復習課的改進與思考

江蘇省無錫市立人高級中學 (214161) 鄭寶生 張小榮

一、問題的提出

南京師范大學喻平教授認為，數學課堂教學的課程資源有外顯性和內隱性，而內隱性資源又可以區分為內隱素材性資源和內隱條件性資源，內隱素材性資源是指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識深層的隱性知識，它包括數學知識的文化元素、過程元素、邏輯元素和背景元素．按照2017年版普通高中數學課程標準：“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法，以及他們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動”．內隱條件性資源是指教師對素材性資源的理解，結合外顯條件性資源構建的一種適宜于學生學習的課堂環境，它包括構建學生智力和非智力因素共同參與的學習情境，營造平等的課堂對話氛圍，使用有效的方式提出問題等．

前一段時間，區里的名師工作室開展了一次教研活動，一個青年教師上了一節公開課，內容是高一數學的“函數單元復習”，所用教材是蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》必修1.由于教材中沒有這一節的具體內容，需要教師根據前面的教學內容和學生的實際情況來決定教什么？怎么教？對于青年教師來說是一種嚴峻的考驗，他們需要整體把控本單元內容，確定哪些是重點和難點？怎樣才能真正地體現學生的主體作用？等一系列問題．課后進行了集體評課，有的教師提出了一些中肯的建議，也有的教師給出了改進的方法．從課程資源的角度，這節課需要開發出哪些內隱性課程資源，才能使課堂教學更有效？

二、 教學片段

片段一：課前熱身

題2 已知函數f(3x)=2x2+1，則函數f(x)=；

題3 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在[0,+∞)上是增函數，則不等式f(x+1)

學生比較容易解答上述問題，在師生平和的對話中澄清了每一個細節，氣氛活躍且融洽，學生有較高的參與度.接下來，教師讓學生回憶函數定義、表示和性質(如圖)，雖然教師的板書簡練清晰，很好的完成了單元復習所要完成的知識網絡建構.但是，知識網絡的建構與前面學生解題體驗關聯不大，不能融為一體，導致在知識網絡建構的過程中學生的參與度明顯降低，大部分都是教師獨自完成.

如果要改進的話，教師應該讓學生對解答的三個問題進行反思，我們都用到了哪些學過的知識？再讓學生對函數的定義、函數的解析式、函數的定義域和法則，以及函數的單調性和奇偶性等，這些散亂的知識按照一定的關系進行梳理.這樣的問題答案并不唯一，學生的思考有較大的自由度，更好地體現學生的自主性，發展學生思維的邏輯性，培養學生有條理的操作能力.

片段二：拓展銜接

由于執教者沒有給學生深入思考的時機，而是匆忙進入下一個環節——典型例題，喪失了一個調動學生積極性，并充分發揮學生主體作用的機會.只要教師提出：對于上面題1和題2兩個問題你還能求什么？等于給學生搭建了一個有情境限制無思想束縛的自由平臺，讓學生更好地發現問題.我們難以預測學生會提出怎樣的問題，但是教師必須事先做好預案.

意圖：從求具體函數的定義域上升到求抽象函數的定義域.

意圖：一方面能更好地反饋學生對函數概念的理解，另一方面也可以確認怎樣的分段函數圖像是單調減函數，怎樣的不是單調減函數，為后面的“典型例題”做好知識儲備，讓開頭的問題與后面的例題有一個更好的銜接.

接著教師再提出如下問題：對于開頭的題3你能把它們的條件用其它的數學符號語言來表述嗎？

題6 (1)f(x)是偶函數可表示為：①任意的x都有f(x)-f(-x)=0；②任意x、y都有f(x+y)=f(x)-f(y)；

(3)由于函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在[0,+∞)上是增函數，可表示為f(x)=x2|x|.

意圖：盡可能讓學生去聯想、去發現，給學生一個展示自我的舞臺，這種問題條件的漸近式變化，在變化中體現不變的數學本質，有利于學生的理解和掌握，并體悟到數學中變與不變的趣味以及出題者的用意和思維方式.

以上只是備選方案，要根據學生的實際情況斟酌選用.對于高一的學生來說，不能讓例題過于冷僻，學生的學習能力是在潛移默化中成長起來的，拔苗助長只能適得其反.通過對函數奇偶性和單調性的變式處理，體現了函數這個單元中的重點知識，化解了函數中的難點內容，為后面的函數學習搭建一個腳手架.

片段三：典型例題

執教者所選用的例題如下：

例1 (1)若函數f(x)=

(2)已知函數f(x)=|x-4|+|x+4|，解不等式f(x2-3)>f(2x).

例2 函數f(x)的定義域為R，且對任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)<0，且f(1)=-2.

(1)證明：函數f(x)是奇函數；

(2)證明：函數f(x)在R上是減函數；

(3)求函數f(x)在區間[-3,3]上的最大值和最小值.

課堂的實際情況是：例1的第一小問，學生還是能夠參與其中的，但是有大部分學生沒有考慮x=-1時函數值大小問題，導致解答錯誤；對于第二小問，學生能夠參與解答f(x)的奇偶性，也能正確地脫去絕對值，畫出函數f(x)的圖像，但是解不等式f(x2-3)>f(2x)學生就無從下手了，教師只能自己講，學生聽的有點糊涂，其效果并不理想，例2也就沒有時間去處理，只能草草收兵.

課后，工作室里的教師從學生參與課堂教學的角度進行研討，大家一致認為:例1的第一問之前，需要讓學生對分段函數是減函數的圖像有一個清晰的認識，學生能夠區分是減函數的分段函數圖像和不是減函數的分段函數圖像.這樣學生參與解答例1第一問的主動性會更高，不考慮x=-1函數值的學生會更少.其次，對于例1第二問，在本節課的教學時機并不成熟，雖然課前熱身題3已經做了鋪墊，在偶函數f(x)中，f(x+1)

三、教學感悟

要提高課堂教學的有效性，需要關注“教什么？”的前提下，也要關注“怎樣教？”，既要重視外顯性課程資源的利用，也要重視內隱性課程資源的開發．

1.建構課堂的學習情境 強化學生的主體地位

學習情境是一種內隱條件性課程資源，既有智力因素方面的問題情境，又有非智力因素方面的學生參與的態度和情感．只有學生的主動參與和積極思考，形成平等的課堂對話氛圍，才能真正提高課堂教學效益．本節課開頭的三個問題從知識的角度講，涉及函數的定義域、求函數解析式以及利用函數的性質，涵蓋了函數這一章的主要內容；從課堂教學實際來說，師生的交流自然且有思維含量，學生的學習熱情高、參與面廣，說明了構建這樣的學習情境還是恰到好處的．其次，在改進的環節二是本節課的核心，它承接環節一的三個小問題，從知識的角度講是為環節三搭建了腳手架；從過程的角度看，學生在參與中能得到一種情感體驗，有了這樣的體驗才能夠轉化為經驗，其目的是為環節三構建一個有效的學習情境，使學生在環節三中能自主地思考、獨立地解決問題，真正體現學生的主體地位．

2.展示數學文化元素 體現數學知識的思想性

數學所具有的抽象性、嚴謹性和廣泛性展示了數學文化的力量．然而，在數學形成和發展中所體現出來的數學思想方法，對人的思想觀念的感化和影響是潛在的，也是巨大的．在改進后的課堂教學，更強化了數和形的思想方法，在環節二的題5中，讓學生用一個二次函數和一個一次函數組成一個分段函數，使這個函數是單調函數，這種開放性的問題能更好地反映學生在形上感知單調函數，從而體會函數單調性定義在數與式中的意義．其次，環節二的題6給出了各種變式，呈現的是函數單調性各種符號的不同表征，其解決方式都是回到函數單調性定義中去，體現了問題解決過程的化歸思想．最后，環節一的題3、環節二的題4以及環節三的例2都是使用的抽象函數，三個題目是漸進式且有一定的梯度，體現了數學抽象的思想，能更好地培育學生的理性精神．

3.挖掘數學的邏輯元素，培育學生的邏輯思維能力

邏輯泛指規律，包括思維規律和客觀規律．我們通過數學知識的客觀性來培育學生思維的邏輯性，通過數學知識的主觀性來鍛煉學生的邏輯思維能力，使學生的思維更合情、合理、合規．在環節一中，需要學生通過自主練習后的反思，提取所用的知識點，并建立起一定的知識網絡結構，關鍵在于學生的主動參與、積極建構，才能夠更好地完善學生的知識結構，促使學生合理地思考、清楚的表達、有條不紊的工作．其次，環節三中的例2是一個簡單的代數推理，學生要獨立完成，就需要具備一定的邏輯推理能力．最后，三個環節之間，前面的環節是后面環節的知識基礎，而后面環節是前面環節的推廣或綜合，小步推進逐漸提升，充分體現了各環節之間的邏輯性和秩序性，在潛移默化中也能影響學生的邏輯思維能力的提高．