基于深度學習 提升核心素養
——以兩道解析幾何題目為例

周新偉 吳利華 周海軍

（江蘇省天一中學，江蘇 無錫 214101）

如何幫助學生形成學科核心素養，是當前教育教學實踐中的重要問題。其中在普通高中課程標準（2017 年版）指出：學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相互獨立、又相互交融，是一個有機的整體。學科核心素養本身具有復雜性，傳統教學范式難以促進其生成。深度學習恰恰能真正落實學科素養.

深度學習是基于學習者自發的、自主性的內在學習動機，并依靠對問題本身探究的內在興趣維持的，一種長期的、全身心投入的持久學習。首先，從認知的角度上看，深度學習是思維不斷深化的過程，向高階思維階段（分析、評價、創造）發展，學習者能夠不斷自我反思與調節，因此這樣的學習最終是通往自發的創造；其次，從動機情感上來說，深度學習是一種全身心的投入、令人身心愉悅充實的學習狀態，學習者常常是忘我地，不知疲倦的；最后，從人際關系的角度來看，進入深度學習者對自己的學習充滿信心，而且能夠與他人有效溝通合作，共同克服困難解決問題的。而基于深度學習的教學策略至關重要，當然對教學來說，沒有任何單一策略能適用于所有情況，有效的教學需要有可供選擇的策略，最好的策略就是在一定情況下達到特定目標的最有效的方法論體系.教學設計只有掌握了不同的策略，才能因地制宜地制定出良好的教學方案，教給學生改變行為方式的方法。發展高中生數學核心素養的深度學習教學策略就是指通過學科教學活動，激發學生學習的內驅力，開展數學研究活動，促進學生深度學習，進而能夠發展學生的數學核心素養，使學生逐步形成正確價值觀念、必備品格和關鍵能力.最優的教學策略研究可以促進學生的深度學習，從而保證核心素養的真正落實。深度學習可以為學科核心素養的生成提供途徑.

解析幾何是高中階段的重點內容，也是高考中的一個難點，近五年全國卷(理科）對解析幾何的考查，保持1 大2 小或1 大3 小的考查頻度，小題一般以考查直線，圓與圓錐曲線的定義與性質為主，多為基礎題和中檔題；解答題以橢圓、拋物線與直線結合考查為主，屬于高檔題，有時為壓軸題。很多同學覺得解析幾何的學習很難，主要是因為在學習中沒有進行深度學習.

我國著名數學家華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”而解析幾何是用代數方法研究幾何問題，因此在許多問題的處理過程中，有兩個方面需要引起足夠的重視，一是數值的轉化，二是計算的技巧.

試舉兩例說明.

例1 在直角坐標系xOy中，⊙O與直線相切，與x軸相交于A、B兩點，圓O內的動點P使成等比數列，則的取值范圍是___________.

事實上，許多學生在得到（*）式后就卡殼了，因為（*）式難以處理，平方嗎？似乎不恰當.怎么辦？普通的教學到此時由教師直接給出答案，而深度學習就是需要進一步引導學生深入思考.

通過轉化，一題多解，引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程去分析解答同一道題目，讓學生真正深度思考，培養學生的發散思維，加深學生對所學知識的深刻理解，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創性，發展學生的創造性思維，提升學生的數學核心素養.

例2 雙曲線x2-y2=2017的左、右頂點分別為A1、A2，P為其右支上一點，且 ∠A1PA2=4∠PA1A2，則 ∠PA1A2等于_______。

解析：從圖3 可以發現 ∠PA2x=∠PA1A2+∠A1PA2=5∠PA1A2。這個幾何條件如何用坐標刻畫呢？顯然，∠PA2x和 ∠PA1A2都是銳角，且這兩個角均可視為直線A1P和A2P的傾斜角，進而聯想直線的斜率，設P(x0,y0)，

解后思考：

（1）由上述過程可知，既然∠PA2x和∠PA1A2互余，且這兩個角與三角形PA1A2的兩內角有關，不妨作出三角形PA1A2的 外 接 圓M，如 圖4。顯 然2∠PA1A2=∠PMA2，∠A1PA2=∠OMA2，這樣就有 ∠PMA2+∠OMA2=900，從而點P和點M的縱坐標相同.

在運算的每一個轉折點，我們都應該觀察一下式子的結構特征和圖形的特點，選擇合理的解決方向.

解析幾何是綜合性非常強的教學模塊，大部分試題都有多種解法，成功解決解析幾何問題不僅需要扎實的數學基本知識和基本技能，而且還需要靈活的思維能力，本文主要通過數值的轉化，計算的技巧，參數的合理選擇，真正達成解析幾何的深度學習，強化學生的數學運算能力，使核心素養得以真正落實.