高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用探究

趙清軍

摘 要：數(shù)列是以自變量為正整數(shù)集的一類特殊函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。借助數(shù)列的函數(shù)特性解決數(shù)列問題在一定程度上簡化運算，同時也對數(shù)列的幾何意義有更深刻的認識。借助函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)幾種途徑研究和解決數(shù)列問題，對于解決數(shù)列通項、數(shù)列最值等問題有重要作用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)思想;數(shù)列

數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義在正整數(shù)集或其有限子集。由此可見，任何數(shù)列問題都蘊含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征?？巳R因曾說：“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂?！焙瘮?shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成之一，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。數(shù)列一直以來都是高考的重點內(nèi)容，而數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用是高考命題的重點和熱點。因此我們在解決數(shù)列問題時，應(yīng)充分利用函數(shù)相關(guān)知識，通過其概念、圖象和性質(zhì)，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，探究它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效的簡化數(shù)列問題，最終解決問題。以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為工具，揭示函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用技巧。

一、函數(shù)思想下的高中數(shù)學(xué)數(shù)列課堂現(xiàn)狀

（一）照本宣科

現(xiàn)階段，有些教師在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想解決高中數(shù)學(xué)題時，大多都是毫無新意地對課本教材進行復(fù)刻，雖然課本知識都是正確的，但是機械地搬弄只會讓學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)的枯燥乏味，很難提起興趣。對比教師給出的相關(guān)概念與定義，通常會使學(xué)生回憶起初中學(xué)到的函數(shù)知識，此時的學(xué)生難免會產(chǎn)生疑惑“為何與之前學(xué)過的函數(shù)定義存在不同？”假如教師不能在本節(jié)課及時給學(xué)生答疑解惑，那么便會對其日后的學(xué)習(xí)造成不良影響，只會讓學(xué)生更難以理解后續(xù)的課程。因此，以函數(shù)思想為指導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)在具體開展過程中，首先需要教師對比初中函數(shù)概念進而引出高中階段需要學(xué)習(xí)的函數(shù)思想內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生完成由已知到新知的過渡，及時消除學(xué)生疑慮。

（二）不顧學(xué)情，盲目授課

在廣大的教師隊伍中還有這樣一類教師，其年輕敬業(yè)，卻習(xí)慣性忽視學(xué)生的實際學(xué)情。這些教師在給兩個不同班級教學(xué)時，常常忽視每個班的學(xué)生在學(xué)習(xí)能力方面存在著較大差距，教師在給能力更強的班級授課時會迅速遞進相關(guān)知識點，一節(jié)課包含眾多知識點，然而等到課下批閱學(xué)生作業(yè)時卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生很快就能接受所學(xué)知識，效果還不錯，就會認為這種教法是有效的。因此，到另一個班教學(xué)時，依然會套用相同的教學(xué)思路與方法。此時，這個班的學(xué)生學(xué)習(xí)起來就相當(dāng)費力，眼下的知識點還沒搞清楚就要跟上教師步伐學(xué)習(xí)下一個知識點，一節(jié)課下來大多學(xué)生都是云里霧里的，完全不清楚這節(jié)課講了什么，最終導(dǎo)致能力較差的學(xué)生學(xué)習(xí)效果不佳。因此，在日常教學(xué)中，尤其是在講授函數(shù)概念性內(nèi)容時，教師務(wù)必要重視分析學(xué)生實際學(xué)情，制定相適宜的教學(xué)計劃，以求給學(xué)生日后順利、高效學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。

（三）枯燥無味

還有一些教師講課時根本提不起學(xué)生興趣，給學(xué)生造成枯燥乏味的認知。主要是因為剛剛升入高中的學(xué)生還沒有完全適應(yīng)眼下的學(xué)習(xí)生活，加之函數(shù)板塊的內(nèi)容本就晦澀難懂，很多教師在課程剛開始時就單刀直入切進正題，缺少有效的鋪墊引導(dǎo)，所以很難激發(fā)學(xué)生興趣，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。因此，給學(xué)生講授函數(shù)模塊的內(nèi)容時，需要教師融入新課程理念，鼓勵學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)內(nèi)容，主動獲取知識，掌握高效學(xué)習(xí)方法。教師可適時為學(xué)生創(chuàng)設(shè)相應(yīng)教學(xué)情境，引導(dǎo)其嘗試親近數(shù)學(xué)概念、定理、公式、思想方法等，在此基礎(chǔ)上點燃其學(xué)習(xí)熱情，增強學(xué)習(xí)興趣，進一步打造高效課堂。最后，還有一個不容忽視的問題，就是教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)缺乏。存在這一問題的基本上都是剛剛走上教育工作崗位的青年教師，針對抽象且雜亂的函數(shù)思想內(nèi)容，很多教師尚未形成清晰的教學(xué)思路，教學(xué)方案缺少邏輯性、連貫性，很難吸引學(xué)生注意力。

二、基于函數(shù)思想的數(shù)列解題應(yīng)用研究

（一）函數(shù)思想解決數(shù)列問題一直是高考數(shù)學(xué)評估中的關(guān)鍵和難點問題。數(shù)列由有序數(shù)字組成，每個都可將其看作一個函數(shù)。函數(shù)思想與科學(xué)研究的獨立變量有關(guān)。兩者可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)換，從而簡化了復(fù)雜的問題。因此，在學(xué)生解題的整個過程中，應(yīng)探索題目內(nèi)隱藏條件，深入地分析問題，并建立函數(shù)思想和數(shù)列間存在的聯(lián)系性、規(guī)律性?；诤瘮?shù)思想解決數(shù)列問題，有助于深化數(shù)列定義、等比、等差等知識銜接。數(shù)列問題求解，應(yīng)抓住題目中的已知條件與利用函數(shù)的單調(diào)性與連續(xù)性等定義互相轉(zhuǎn)化，求得數(shù)列分布規(guī)律和通項公式，促使問題得到高效解決。此外，教師在課堂上應(yīng)有目的地指導(dǎo)學(xué)生找到最佳解題方案，點燃數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，幫助其掌握函數(shù)思想。保持靈活性，借助數(shù)學(xué)思想來解決實際問題，并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。最后，教師應(yīng)重視訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力，并在課堂上充分說明數(shù)學(xué)思想的重要性。

（二）借助函數(shù)定義簡化數(shù)列問題

數(shù)列的第n項，與序號n之間的關(guān)系可以用這個數(shù)列的通項公式來表示，即=f（n），也就是說，數(shù)列的通項公式是關(guān)于自變量n的表達式，即為一個函數(shù)。顯然可知，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和均是關(guān)于n的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…，n}。所以我們在解決數(shù)列問題時，可以通過將其考慮為函數(shù)來簡化問題，借助函數(shù)的本質(zhì)、意義對問題進行分析，從而簡化數(shù)列問題，使問題得以解決。

（三）巧用函數(shù)圖象簡化數(shù)列問題

函數(shù)圖象是直觀反映函數(shù)特征的工具，利用圖象解決數(shù)學(xué)問題，即數(shù)形結(jié)合，它是中學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，借助函數(shù)圖象能直觀有效的解決數(shù)列問題。將等差數(shù)列的通項公式改寫為，它是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的離散點集。因為等差數(shù)列的前n項和的公式改寫成，它是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)，其圖象為過原點的某拋物線上的離散點。在等比數(shù)列中，當(dāng)公比q=1時，等比數(shù)列{an}是常數(shù)列，其對應(yīng)的圖像是平行于橫坐標(biāo)的一條直線上的離散點，等比數(shù)列前項和是關(guān)于的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的離散點;等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和Sn， ?（q≠1）即 （q≠1）均是關(guān)于n的指數(shù)類型的函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上的離散點。所以在解決數(shù)列問題時，我們可以借助數(shù)列的通項公式或其前n項和呈現(xiàn)出來的函數(shù)圖象來分析問題，這樣往往會使問題簡單化，變得容易求解。

（四）活用函數(shù)性質(zhì)簡化數(shù)列問題

函數(shù)性質(zhì)是顯性反映函數(shù)特征的手段，在數(shù)列中，函數(shù)的諸多性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等都有著較廣泛的應(yīng)用。利用函數(shù)的單調(diào)性可以找出數(shù)列及數(shù)列前n項和的最值;求解通項公式中的參數(shù);利用周期性可以將較遠項轉(zhuǎn)化為較近項，簡化。數(shù)列問題，從而達到較好的解題效果。

（五）構(gòu)造函數(shù)簡化數(shù)列問題

構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，同時構(gòu)造法在解決數(shù)列問題中起著至關(guān)重要的作用。對于既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列的問題，往往需要通過函數(shù)變換構(gòu)造新函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，達到簡化問題的目的，從而使問題得以解決。在構(gòu)造函數(shù)的過程中，往往需要一定的觀察、分析問題，進而得到數(shù)列的通項公式和前n項和公式的能力。

（六）在日常生活最優(yōu)化問題中的應(yīng)用

除了將函數(shù)思想應(yīng)用到數(shù)列問題解決以外，函數(shù)思想還可應(yīng)用于日常生活，這主要是因為數(shù)學(xué)思想在日常生活中有很強的應(yīng)用性，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生積極將數(shù)學(xué)知識變化為生活經(jīng)驗，深化理解函數(shù)知識，并增強學(xué)習(xí)能力。例如，進行課堂教學(xué)時，師生經(jīng)常遇到以最小的成本獲得更大的經(jīng)濟效益的問題，即最優(yōu)化問題?；诤瘮?shù)思想，可以在已知數(shù)量和未知數(shù)量之間建立關(guān)系，進而形成正確函數(shù)關(guān)系式，隨后聯(lián)系函數(shù)關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)，順利解決問題，算出正確答案。學(xué)生的解題過程，同樣是其函數(shù)思想學(xué)習(xí)的過程，也是學(xué)生能力鍛煉的過程，通過教師的有效引導(dǎo)，對培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力有著積極作用。

三、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)中數(shù)列課程學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容就是解決數(shù)學(xué)問題，旨在解題過程中實現(xiàn)知識的有效運用，對于學(xué)生來說，是否可以迅速且正確進行解題，很大程度上要看學(xué)生的解題思路與技巧是否清晰，解題思想是否科學(xué)。然而，眼下學(xué)生進行數(shù)學(xué)解題時普遍深陷“題海”當(dāng)中，走不出解題盲區(qū)，解題思想不清晰，解題思路不正確。在此背景下，作為數(shù)學(xué)思想中最重要的組成元素，函數(shù)思想的建立與運用非常有利于學(xué)生捋清解題思緒，提高解題效率?；诖?，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，還需教師引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)思想做出深入剖析，研究其本質(zhì)，并實現(xiàn)有效運用，以便給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供不竭動力。

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