探究高考數(shù)列題目的“題根”

張小剛

摘 要：數(shù)列旨在研究數(shù)的規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的重要知識(shí)版塊，而高中數(shù)學(xué)主要研究兩類特殊數(shù)列，即等差數(shù)列和等比數(shù)列，讓學(xué)生通過這兩類特殊數(shù)列打開對(duì)數(shù)列的認(rèn)知。數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，也是高考熱頻考點(diǎn)，縱觀近幾年高考中數(shù)列的相關(guān)題目，考察形式豐富多彩，結(jié)合數(shù)學(xué)文化進(jìn)行創(chuàng)新，將“數(shù)列”進(jìn)行重新包裝，給很多學(xué)生造成了極大的困擾，本文旨在結(jié)合人教A版習(xí)題和高考題目對(duì)數(shù)列考察題目進(jìn)行深度挖掘，找到這些題目的源頭，即“題根”，揭開籠罩在這些題目上面的面紗，讓學(xué)生尋根解題，不再盲目。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);等差數(shù)列;等比數(shù)列;題根教學(xué)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，同時(shí)作為高考熱考考點(diǎn)之一，會(huì)結(jié)合數(shù)學(xué)文化以不同的“面貌”走到考生面前，但考察的核心內(nèi)容并未改變，從而達(dá)到提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的綜合能力。考查的題目普遍呈現(xiàn)為中等題目，但對(duì)于南疆大部分學(xué)生還是很有挑戰(zhàn)性，所以決定將數(shù)列的考察類型進(jìn)行整理，形成體系化的內(nèi)容，讓學(xué)生在看到題目以后明確如何思考，如何尋找突破口，進(jìn)而解決問題。就在此期間有幸聽了一位援疆老師的講座，在講座期間提到了題根教學(xué)，這是我第一次聽到這個(gè)詞語——“題根教學(xué)”，新鮮之余我就想到了數(shù)列，何不就此契機(jī)嘗試做一下數(shù)列通項(xiàng)求解的題根教學(xué)，后來就展開了尋根之旅。尋根主要是爭對(duì)教材的例題，然后鋪開到高考題目，這樣就是本著“教材為根，高考為樹，開花結(jié)果”的原則進(jìn)行的。以下就是我形成的成果：

【題根與題源】

1.（必修5P50例2）根據(jù)圖2.4-2中的框圖（圖略，教材中的圖），寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式.這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？

2.（必修5P69B6）已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，且an=2an-1+3an-2（n≥3）.對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

【試題評(píng)析】

（1）題目以程序框圖為載體給出遞推數(shù)列{an}，其中a1=1，an=an-1（n>1）。進(jìn)而由遞推公式寫出前5項(xiàng)，并利用定義判斷數(shù)列{an}是等比數(shù)列。

（2）題目以遞推形式給出數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列模型bn=an+an-1（n≥2），cn=an-3an-1（n≥2），利用等比數(shù)列定義不難得到{bn}，{cn}是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

兩題均從遞推關(guān)系入手，考查等比數(shù)列的判定和通項(xiàng)公式的求解，突顯數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【教材拓展】

1： （2019·鄭州模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）.

（1）求證：{an+1+2an}是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：（1）證明 因?yàn)閍n+1=an+6an-1（n≥2），

所以an+1+2an=3an+6an-1=3（an+2an-1）（n≥2）.

因?yàn)閍1=5，a2=5，

所以a2+2a1=15，

所以an+2an-1≠0（n≥2），

所以數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。

（2）解：由（1）得an+1+2an=15×3n-1=5×3n，

則an+1=-2an+5×3n，

所以an+1-3n+1=-2（an-3n）.

又因?yàn)閍1-3=2，所以an-3n≠0，

所以{an-3n}是以2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.

所以an-3n=2×（-2）n-1，

故an=2×（-2）n-1+3n。

分析：通過遞推關(guān)系進(jìn)行構(gòu)造，找到了新的等比數(shù)列{an+1+2an}，進(jìn)而對(duì)此題目進(jìn)行突破，最后的落腳點(diǎn)還是回到了等比數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式的求解，所以“根”即為等比數(shù)列。

2： （2019·蕪湖調(diào)研）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中項(xiàng)。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)bn=2log2an-1，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn。

解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

因?yàn)閍2=4，所以a3=4q，a4=4q2.

因?yàn)閍3+2是a2和a4的等差中項(xiàng)，

所以2（a3+2）=a2+a4.

即2（4q+2）=4+4q2，化簡得q2-2q=0.

因?yàn)楣萹≠0，所以q=2.

所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n（n∈N*）.

（2）因?yàn)閍n=2n，所以bn=2log2an-1=2n-1，

所以anbn=（2n-1）2n，

則Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）2n-1+（2n-1）2n，①

2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1.②

由①-②得，

-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）2n+1

=2+2×-（2n-1）2n+1=-6-（2n-3）2n+1，

所以Tn=6+（2n-3）2n+1.

所以Tn=（n-1）·2n+1+2-。

分析：這是一道用對(duì)數(shù)包裝的數(shù)列題目，（1）的求解沒有任何難度，只是考察基本量法求解等差等比數(shù)列，也是為了（2）營造氛圍，而（2）才回到了等差等比數(shù)列的本質(zhì)，通過等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘的求和問題，回歸到了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)上來，緊扣教科書，回歸本源，等比數(shù)列前n項(xiàng)和即為“根”。

【面向高考】

1：（2017·全國Ⅱ卷）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1=-1，b1=1，a2+b2=2。

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）若T3=21，求S3。

解： 設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，

則an=-1+（n-1）·d，bn=qn-1.

由a2+b2=2得d+q=3.①

（1）由a3+b3=5得2d+q2=6.②

聯(lián)立①和②解得（舍去），

因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1。

（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.

解得q=-5或q=4.

當(dāng)q=-5時(shí)，由①得d=8，則S3=21.

當(dāng)q=4時(shí)，由①得d=-1，則S3=-6。

2：（2018·全國Ⅰ卷）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an.設(shè)bn=。

（1）求b1，b2，b3;

（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由;

（3）求{an}的通項(xiàng)公式。

解 （1）由條件可得an+1=an.

將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4。

（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：

由條件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。

（3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1。

3：（12分）（2019·全國Ⅱ卷）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， 。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解：（1）由題知，{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，所以 。

又因?yàn)?? ，即?? ，

所以，。

又因?yàn)?{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以舍去，即 ，

所以{an}的通項(xiàng)公式為。

（2）由（1）知，

所以，

所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以的前n項(xiàng)和為：

。

4.（12分）（2021·全國乙卷理科）

記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前項(xiàng)積，已知。

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式。

解析略。

分析： 以上高考題目都立足題根，在題根的基礎(chǔ)上加以變化，主要考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式計(jì)算，突出方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，準(zhǔn)確計(jì)算是求解的關(guān)鍵。利用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列方程（組）求出等差（比）數(shù)列的首項(xiàng)和公差（比），進(jìn)而寫出所求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，這是求解等差數(shù)列或等比數(shù)列問題的常用方法。對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，以便實(shí)現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化。

小結(jié)：高考題中的數(shù)列試題，往往比較難，同學(xué)們有點(diǎn)怕，究其原因，還是數(shù)列試題綜合性強(qiáng)，變形靈活。其實(shí)數(shù)列問題還是有規(guī)律可尋的，縱觀近幾年高考數(shù)列試題，可分為幾種類型：概念題（等差等比數(shù)列的判斷與證明）、基本計(jì)算題（基本量的方法）、新定義題、和式問題、奇偶項(xiàng)問題、整除性問題、子數(shù)列，生成數(shù)列等等。但是在這些問題中，最關(guān)鍵的問題還是兩個(gè)最基本的數(shù)列：即等差數(shù)列與等比數(shù)列.故本文所說的數(shù)列之根即為等差數(shù)列與等比數(shù)列，理解和掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩類數(shù)列的本質(zhì)屬性，即可對(duì)相應(yīng)的題目順利解答。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞新龍.有關(guān)等差、等比數(shù)列證明問題歸類解析[J].數(shù)學(xué)通訊.2006年21期

[2]徐生軍.談等差、等比數(shù)列課中的啟發(fā)式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué).1996年01期

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