探究高考數列題目的“題根”

張小剛

摘 要：數列旨在研究數的規律，是培養學生邏輯思維的重要知識版塊，而高中數學主要研究兩類特殊數列，即等差數列和等比數列，讓學生通過這兩類特殊數列打開對數列的認知。數列作為高中數學核心內容，也是高考熱頻考點，縱觀近幾年高考中數列的相關題目，考察形式豐富多彩，結合數學文化進行創新，將“數列”進行重新包裝，給很多學生造成了極大的困擾，本文旨在結合人教A版習題和高考題目對數列考察題目進行深度挖掘，找到這些題目的源頭，即“題根”，揭開籠罩在這些題目上面的面紗，讓學生尋根解題，不再盲目。

關鍵詞：高中數學;等差數列;等比數列;題根教學

數列是高中數學的核心內容之一，同時作為高考熱考考點之一，會結合數學文化以不同的“面貌”走到考生面前，但考察的核心內容并未改變，從而達到提升學生的核心素養，培養學生的創新意識，提高學生的綜合能力。考查的題目普遍呈現為中等題目，但對于南疆大部分學生還是很有挑戰性，所以決定將數列的考察類型進行整理，形成體系化的內容，讓學生在看到題目以后明確如何思考，如何尋找突破口，進而解決問題。就在此期間有幸聽了一位援疆老師的講座，在講座期間提到了題根教學，這是我第一次聽到這個詞語——“題根教學”，新鮮之余我就想到了數列，何不就此契機嘗試做一下數列通項求解的題根教學，后來就展開了尋根之旅。尋根主要是爭對教材的例題，然后鋪開到高考題目，這樣就是本著“教材為根，高考為樹，開花結果”的原則進行的。以下就是我形成的成果：

【題根與題源】

1.（必修5P50例2）根據圖2.4-2中的框圖（圖略，教材中的圖），寫出所打印數列的前5項，并建立數列的遞推公式.這個數列是等比數列嗎？

2.（必修5P69B6）已知數列{an}中，a1=5，a2=2，且an=2an-1+3an-2（n≥3）.對于這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？

【試題評析】

（1）題目以程序框圖為載體給出遞推數列{an}，其中a1=1，an=an-1（n>1）。進而由遞推公式寫出前5項，并利用定義判斷數列{an}是等比數列。

（2）題目以遞推形式給出數列，構造數列模型bn=an+an-1（n≥2），cn=an-3an-1（n≥2），利用等比數列定義不難得到{bn}，{cn}是等比數列，進而求出數列{an}的通項公式。

兩題均從遞推關系入手，考查等比數列的判定和通項公式的求解，突顯數學運算與邏輯推理等數學核心素養.

【教材拓展】

1： （2019·鄭州模擬）已知數列{an}滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）.

（1）求證：{an+1+2an}是等比數列;

（2）求數列{an}的通項公式。

解：（1）證明 因為an+1=an+6an-1（n≥2），

所以an+1+2an=3an+6an-1=3（an+2an-1）（n≥2）.

因為a1=5，a2=5，

所以a2+2a1=15，

所以an+2an-1≠0（n≥2），

所以數列{an+1+2an}是以15為首項，3為公比的等比數列。

（2）解：由（1）得an+1+2an=15×3n-1=5×3n，

則an+1=-2an+5×3n，

所以an+1-3n+1=-2（an-3n）.

又因為a1-3=2，所以an-3n≠0，

所以{an-3n}是以2為首項，-2為公比的等比數列.

所以an-3n=2×（-2）n-1，

故an=2×（-2）n-1+3n。

分析：通過遞推關系進行構造，找到了新的等比數列{an+1+2an}，進而對此題目進行突破，最后的落腳點還是回到了等比數列的定義以及通項公式的求解，所以“根”即為等比數列。

2： （2019·蕪湖調研）已知數列{an}是等比數列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中項。

（1）求數列{an}的通項公式;

（2）設bn=2log2an-1，求數列{anbn}的前n項和Tn。

解：（1）設數列{an}的公比為q，

因為a2=4，所以a3=4q，a4=4q2.

因為a3+2是a2和a4的等差中項，

所以2（a3+2）=a2+a4.

即2（4q+2）=4+4q2，化簡得q2-2q=0.

因為公比q≠0，所以q=2.

所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n（n∈N*）.

（2）因為an=2n，所以bn=2log2an-1=2n-1，

所以anbn=（2n-1）2n，

則Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）2n-1+（2n-1）2n，①

2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1.②

由①-②得，

-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）2n+1

=2+2×-（2n-1）2n+1=-6-（2n-3）2n+1，

所以Tn=6+（2n-3）2n+1.

所以Tn=（n-1）·2n+1+2-。

分析：這是一道用對數包裝的數列題目，（1）的求解沒有任何難度，只是考察基本量法求解等差等比數列，也是為了（2）營造氛圍，而（2）才回到了等差等比數列的本質，通過等差數列和等比數列相乘的求和問題，回歸到了等比數列前n項和的推導上來，緊扣教科書，回歸本源，等比數列前n項和即為“根”。

【面向高考】

1：（2017·全國Ⅱ卷）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，等比數列{bn}的前n項和為Tn，a1=-1，b1=1，a2+b2=2。

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項公式;

（2）若T3=21，求S3。

解： 設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，

則an=-1+（n-1）·d，bn=qn-1.

由a2+b2=2得d+q=3.①

（1）由a3+b3=5得2d+q2=6.②

聯立①和②解得（舍去），

因此{bn}的通項公式為bn=2n-1。

（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.

解得q=-5或q=4.

當q=-5時，由①得d=8，則S3=21.

當q=4時，由①得d=-1，則S3=-6。

2：（2018·全國Ⅰ卷）已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an.設bn=。

（1）求b1，b2，b3;

（2）判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由;

（3）求{an}的通項公式。

解 （1）由條件可得an+1=an.

將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4。

（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數列.理由如下：

由條件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數列。

（3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1。

3：（12分）（2019·全國Ⅱ卷）已知{an}是各項均為正數的等比數列， 。

（1）求{an}的通項公式;

（2）設，求數列的前n項和。

解：（1）由題知，{an}為等比數列，設公比為q，所以 。

又因為?? ，即?? ，

所以，。

又因為 {an}各項均為正數，

所以舍去，即 ，

所以{an}的通項公式為。

（2）由（1）知，

所以，

所以是以1為首項，2為公差的等差數列，所以的前n項和為：

。

4.（12分）（2021·全國乙卷理科）

記Sn為數列{an}的前n項和，bn為數列{Sn}的前項積，已知。

（1）證明：數列是等差數列;

（2）求數列 {an}的通項公式。

解析略。

分析： 以上高考題目都立足題根，在題根的基礎上加以變化，主要考查等差、等比數列通項公式與前n項和公式計算，突出方程思想和數學運算等核心素養，準確計算是求解的關鍵。利用等差（比）數列的通項公式及前n項和公式列方程（組）求出等差（比）數列的首項和公差（比），進而寫出所求數列的通項公式及前n項和公式，這是求解等差數列或等比數列問題的常用方法。對等差、等比數列的綜合問題，應重點分析等差、等比數列項之間的關系，以便實現等差、等比數列之間的相互轉化。

小結：高考題中的數列試題，往往比較難，同學們有點怕，究其原因，還是數列試題綜合性強，變形靈活。其實數列問題還是有規律可尋的，縱觀近幾年高考數列試題，可分為幾種類型：概念題（等差等比數列的判斷與證明）、基本計算題（基本量的方法）、新定義題、和式問題、奇偶項問題、整除性問題、子數列，生成數列等等。但是在這些問題中，最關鍵的問題還是兩個最基本的數列：即等差數列與等比數列.故本文所說的數列之根即為等差數列與等比數列，理解和掌握等差數列、等比數列這兩類數列的本質屬性，即可對相應的題目順利解答。

參考文獻：

[1]俞新龍.有關等差、等比數列證明問題歸類解析[J].數學通訊.2006年21期

[2]徐生軍.談等差、等比數列課中的啟發式教學[J].數學教學.1996年01期

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