常見幾何體外接球半徑算法

雒福東

類型一：墻角模型（三條棱分別垂直，不找球心的位置即可求出半徑）

方法：找三條兩兩垂直的線段，直接利用公式a2+b2+c2=（2r）2，求出r

類型二：垂直模型（一條直線垂直于一個平面）

題設：如圖6，7，8，P的射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC三條側棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P也是圓錐的頂點

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線

第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）

第三步：勾股定理：解出R

類型三：切瓜模型（二個平面互相垂直）

方法：

1.題設：如圖9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑）

第一步：易知球心O必是△PAC的外心，即△PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC=2r;

第二步：在△PAC中，可根據正弦定理，求出R

2.題設：如圖9-2，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑）

3.題設：如圖9-3，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑），且P的射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC的三條側棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點

第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線

第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）

第三步：勾股定理：解出R

4.題設：如圖9-3，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑），PA⊥AC，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：

①

②

類型四：漢堡模型（直棱柱的外接球，圓柱的外接球）

方法：

題設：如圖10-1，10-2，10-3，直棱柱內接于球（同時直棱柱內接于圓柱，圓柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：確定球心O的位置，O1是△ABC的外心，則OO1⊥平面ABC

第二步：算出小圓O1的半徑AO1=r，（AA1=h是圓柱的高）

第三步：勾股定理：，解出R

類型五：折疊模型（二個全等三角形或者等腰三角形拼在一起，或者菱形對折）

方法：

題設：兩個全等三角形或者等腰三角形拼在一起，或菱形對折（如圖11）

第一步：先畫出如圖所示的圖形，將△BCD畫在小圓上，找出△BCD和△A'BD的外心H1和H2;

第二步：過H1和H2分別做平面BCD和平面△A'BD的垂線，兩垂線的交點即為球心O，連接OE，OC;

第三步：解△OEH1，算出OH1，在Rt△OCH1中，勾股定理：OH12+CH12=OC2

類型六：對棱相等模型（對棱相等模型，補全為長方體）

方法：

題設：三棱錐（及四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接圓半徑（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;

第二步：設長方體的長寬高分別是a，b，c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z

列方程組

補充：

第三步：根據墻角模型，，

，求出R

分析：取公共的斜邊中點O，連接OP，OC，

則，O為三棱錐P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出半徑，當看作矩形沿對角線折起三棱錐時與折起的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定值。

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