基于Minkowski不等式的推論

毛雯慶 江明澤

摘 要：Minkowski不等式在微分方程和LP空間中有著廣泛的應(yīng)用，本文主要是基于Minkowski不等式的一些推論，以便于改進已有的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：Minkowski不等式;不等式;LP空間

引言：

Minkowski不等式是經(jīng)典的不等式之一，它在數(shù)學(xué)各方面分支上都有重要的應(yīng)用。自從發(fā)現(xiàn)這個不等式起，這一百多年來，人們對它的研究一直沒有中斷。正是其重要性，研究者們對它的探索也很多，相繼得到了Minkowski不等式在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的不同表達形式及其種種改進、推廣和應(yīng)用。本文就Minkowski不等式的離散形式和積分形式作了一些推廣。

定理1? 若且，則

當(dāng)且僅當(dāng)序列和成比例時等式成立.

這個不等式稱為Minkowski不等式.

證明? 首先有恒等式

對于相加得到

根據(jù)不等式，對于有

注意到，兩式相加得到

同理可得積分形式的Minkowski不等式：設(shè)

則有

定理2 積分形式的Minkowski不等式的逆：

設(shè) 則

即

證明? 如果，不等式顯然成立.若或有一個不恒為零，則

令應(yīng)用不等式：

在上述不等式兩邊同時除以即可得

定理3? 設(shè)則

證明? 由Minkowski不等式

證畢.

定理4? 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且則

證明? 令即由不等式

即

令得到個不等式相加有：

則有

故

證畢.

參考文獻：

[1]陳曉莉，吳妍翎.離散形式Minkowski不等式的幾種證明[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（23）：5-6+8.

[2]賈長友，楊麗君.積分形式Minkowski不等式的證明[J].哲里木畜牧學(xué)院學(xué)報，2000（01）：53-55.

[3]胡克.關(guān)于MinkowsKi不等式[J].江西師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1995（04）：285-287.

作者簡介：毛雯慶（1996.07-），女，漢族，學(xué)生，數(shù)學(xué)碩士，專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，研究方向：偏微分方程。

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