一道函數含參恒成立問題的解法

摘 要：分離參數法是解決函數恒成立問題常用的方法，通過等價的分離參數，把求參數范圍問題轉化為恒成立問題中的最值問題，避免了對參數的討論，可達到化繁為簡的目的.

關鍵詞：含參不等式;分離參數;恒成立;導函數

問題：若對于總有成立，求的取值范圍.

解法一

分析：（1）要使在上恒成立，只需函數在上的最小值大于等于零即可;（2）對于函數的最值問題，常見的方法有：配方法、均值不等式法、反函數法、換元法、數形結合、單調性法等;（3）要注意對參數進行分類討論.

解：函數的定義域為

1.當時，，此時在區間上單調遞減，，不成立，舍去。

2.當時，.

（1）若，則在上，單調遞減，此時，不成立。

（2）若，令得或.因為當時，時，所以在上單調遞減，在上單調遞增。

①當時，，此時函數在上的最小值為，不成立;②時，，此時函數在上的最小值為。要使在上恒成立，則，解得。

綜上所述，的取值范圍為。

從解法一的整個解題過程中可以看出，學生主要會遇到以下一些困難：

（1）準確、不重不漏的對參數進行分類.這里除了要對參數是否為零進行討論，還要對參數值的正負進行分別探究.最容易被忽略同時也是最難的是當參數大于零時還要結合定義域討論方程兩根的情況，整個過程需要有較強的邏輯思維能力。（2）需要對二次函數有深刻的認識和把握才能順利完成以上過程.對于很大一部分學生來說函數問題本來就是無法逾越的一道鴻溝，更不用說是含參二次函數了。（3）帶參數的計算問題對于計算能力稍弱的學生來說只能是望而卻步，況且這其中還有二次根式.

基于以上三點分析，尋求更為簡便解法的想法就油然而生了.跟據分離參數法的特點與優勢，對本題中的參數與自變量進行分離成為了解決這個問題的最佳選擇。

分離參數后的實施途徑也不唯一，可以用配方法、均值不等式等.對不等式進行參數分離，然后選擇利用導數研究被分離出來的解析式的單調性并取到最值，整個過程思路清晰、模式簡單，能夠更好的突破傳統解法所面臨的障礙.

下面介紹分離參數法與導數的應用解決這個例題.

解法二（分離參數法）

分析：要使在上恒成立，只需（分離參數a）在上恒成立，即大于或等于的最大值即可。

解：令（），則，令解得.

當時，時，所以時有極大值（也是最大值），又，所以的取值范圍為。

可以看出，分離參數后解決本題就沒有太大問題了.相比于解法一，解法二是多么干凈簡潔的方法啊！

含參不等式的恒成立問題，綜合性比較強，涉及的知識面也比較廣，如何從題干中找到突破口，往往讓學生苦惱，從以上兩種解法來看，可以說分離參數法為我們打開解決此類問題的了“另一扇門”.其次也可以看出，在分離參數后的解題途徑相比于配方法、基本不等式的性質等方法，導數的應用更能使分離參數法令人信賴和接受，更有效地獲取最終的題解.

參考文獻：

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[3]陳芳.如何實現例題教學的“有效性”——從“參數分離法”說起[J].中學數學，2013，01：6-8.

作者簡介：王家見（1991.08-），男，漢族，云南省芒市人，本科學歷，中央民族大學附屬中學芒市實驗學校教師，主要研究方向：高中數學教學。

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