三角函數(shù)背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題的解題策略

謝望春

摘 要：本文通過對與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究分析，提出幾種較為實用的解題策略。通過探究與分析，活躍思維，同時更好的讓高中學(xué)生掌握這一類的知識點，讓三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題不在是學(xué)生心中的難點。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);導(dǎo)數(shù);壓軸題;解法

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點，同時也是大學(xué)高數(shù)的研究方向之一，導(dǎo)數(shù)為高中初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及解題提供了便捷的思維，同時也是大學(xué)中進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，站在高的角度去看待導(dǎo)數(shù)問題，可以更加清楚的看出問題本質(zhì)，解決導(dǎo)數(shù)問題更加便利。

導(dǎo)數(shù)類問題同樣也是各類高考壓軸題的常客，也是很多高中學(xué)生眼中令人頭疼的一個知識點。因此，如何破解導(dǎo)數(shù)壓軸題，是現(xiàn)如今高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大難點。但是高考的命題人非常中意于此類題目，于是涌現(xiàn)出了一個又一個的經(jīng)典題目，也是這些題目豐富了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，對學(xué)生綜合素養(yǎng)的提高起到了很大的作用。

在這類題目中，與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題更可謂是豐富多彩，在全國卷和各地模擬卷中已逐漸成為考察熱點，需要引起我們重視。學(xué)生遇此類問題，普遍得分率較低。主要原因是三角函數(shù)求導(dǎo)依然帶有三角函數(shù)，使得求導(dǎo)、探點過程較復(fù)雜，一般需要分類討論，其解題切入點較難。對此，筆者通過對近幾年來的數(shù)學(xué)三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題的各類解法進(jìn)行探索和分析，總結(jié)出此類問題的幾種解題策略，以期拋轉(zhuǎn)引玉，供大家參考并斧正。

一、利用泰勒公式對函數(shù)進(jìn)行放縮

函數(shù)的不等式類問題，一般都是轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零點問題然后就行分類討論，對與三角函數(shù)的有關(guān)不等式證明的題目的常見方法也是一種常見的方法，但由于分類討論比較繁瑣，并且分類討論中也可能會涉及到一定的放縮問題，所以此時，使用泰勒公式對函數(shù)進(jìn)行放縮是一種簡單快捷的解題方法。

例1? （2019年石家莊一模節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=lnx+;g（x）=（a∈R），求證：當(dāng)-1≤a≤1時，f（x）>g（x）

解析? 令F（x）=f（x）-g（x）=，x∈（0，∞），當(dāng)-1≤a≤1時，要證f（x）>g（x），即證F（x）>0，即xlnx-asinx+1>0。即證xlnx>asinx-1

①x>1時，明顯xlnx>0，再由于-1≤a≤1，-1≤sinx≤1，asinx-1≤0，此時明顯不等式成立。

②【下面我們就想到題目中有ex，cosx，lnx，我們可以用泰勒不等式，三角函數(shù)有關(guān)不等式進(jìn)行放縮，常用不等式ex≥x+1，這里提出幾種該式子的變形不等式，變形1：e-x≥1-x;變形2：e-x≤（x>-1）;變形3：lnx≤x-1（x>0）;變形4：ln≥-x+1（x>0）;變形5：lnx≥-+1（x>0），變形6：ln（x+1）≤x（x>-1），這里我們用到變形5】

當(dāng)0asinx-1，由于-1≤a≤1，只需證明xlnx>sinx-1，xlnx>sinx-1可以得出xlnx+1>x，由于變形6得出只需證明x>sinx，顯然成立，綜上原不等式成立。

提示：相關(guān)不等式在做題時要給出證明。

點評：本題的參考答案是采用比較標(biāo)準(zhǔn)的放縮法，但是高中放縮法比較抽象，學(xué)生難以想到放縮的程度，導(dǎo)致能順利解答出來的學(xué)生不多。但是若學(xué)生能提前掌握泰勒公式延伸出的相關(guān)放縮的不等式，直接采用放縮法解決，該題目就顯得簡潔容易很多，是一種值得提倡的做題方法。

二、利用洛必達(dá)法則求解

遇到含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的時候，比較常見的思路就是優(yōu)先將參數(shù)分離出去，然后利用不含參數(shù)的函數(shù)性質(zhì)去解決，這對一些含有參數(shù)的三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題是比較好的解決方法，但是不是所有的含有參數(shù)的三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題在分離參數(shù)后，就能利用函數(shù)的性質(zhì)去解決問題的，此時，洛必達(dá)法則可派上用場。

例：（2008全國Ⅱ理22題）已知函數(shù)f（x）=

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間

（2）若f（x）≤ax在[0，∞﹞恒成立，求a的取值范圍。

解析

（1）f'（x）=，f（x）在區(qū)間（2kπ-π，2kπ+π）（k∈Z）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2kπ+π，2kπ+π）（k∈Z）上是減函數(shù)。

（2）令g（x）=ax-，

得g'（x）

當(dāng)x=0時，a∈R

當(dāng)x>0時，，

則g'（x）=，令h（x）=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x，

h'（x）=2sinx（sinx-x）

當(dāng)x∈（0，π）時

h'（x）=2sinx（sinx-x）<0，使用洛必達(dá)法則得

當(dāng)x∈（π，+∞）時，

綜上所述a≥

提示：洛必達(dá)法則為高數(shù)必修知識點，用于解決高中數(shù)學(xué)題目方便簡潔明了，但也要求學(xué)生超綱學(xué)習(xí)高數(shù)相關(guān)知識點，比較費時間。

點評：本題目首先應(yīng)用了比較常見的分離參數(shù)的方法，這一步很多學(xué)生都能做到，但是在后面的分類討論中應(yīng)用到洛必達(dá)法則，作為高數(shù)知識點，能應(yīng)用的同學(xué)不多，雖然本題也能應(yīng)用常規(guī)方法做出，但是洛必達(dá)法則的解題步驟簡單明了，是一種非常值得推廣的一種方法。

三、充分利用三角函數(shù)性質(zhì)求解

三角函數(shù)主要有三大性質(zhì)，分別為：有界性、單調(diào)性，周期性。與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題除了會注重考導(dǎo)數(shù)知識點的掌握應(yīng)用程度外，也有一些題目會注重考三角函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)類題目，遇到這種題目應(yīng)當(dāng)熟悉三角函數(shù)三大性質(zhì)，靈活應(yīng)用。常見的需要應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)的壓軸題為“零點”、“極值”類問題。

例3：（2019全國Ⅰ文科20題）已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)。

（1）證明：f'（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點;

（2）若x∈[0，π]，f（x）≥ax，求a 的取值范圍。

解析 （1）f'（x）=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1

令g（x）=cosx+xsinx-1，則g'（x）=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

當(dāng)x∈（0，π）時，令g'（x）=0，解得x=

∴當(dāng)x∈（0，）時g'（x）>0;當(dāng)x∈（，π）時g'（x）<0

∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，π）上單調(diào)遞減

又∴g（0）=1-1=0，g（）=-1>0，g（π）=-1-1=-2

即當(dāng)x∈（0，）時，g（x）>0，此時g（x）無零點，即f'（x）無零點

∵g（）·g（π）<0???? ∴x0∈（，π），使得g（x0）=0

又g（x）在（，π）上單調(diào)遞減

∴x=x0為g（x），即f'（x）在（，π）上的唯一零點。

綜上所述：f'（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點

（2）若x∈[0，π]，f（x）≥ax，即f（x）-ax≥0恒成立

令h（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-（a+1）x

則h'（x）=cosx+xsinx-1-a，h''（x）=xcosx=g'（x）

由（1）可知h'（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，π）上單調(diào)遞減

且h'（0）=-a，h'（）=-a，h'（π）=-2-a

∴h'（x）min=h'（π）=-2-a，h'（x）max=h'（）=-a

點評：該類題目難度并沒有太高，但是考驗學(xué)生的細(xì)心及耐心程度以及對三角函數(shù)性質(zhì)的熟悉程度。做題時需小心謹(jǐn)慎。

總之，含有三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)壓軸題難度比較大，泰勒公式高中教材中雖然涉及，但是并沒有要求學(xué)生掌握，洛必達(dá)法師屬于高數(shù)所學(xué)內(nèi)容，高中生想要學(xué)透并且靈活應(yīng)用起來比較難，最常用的就是應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題，一般解題思路較為繁瑣，需要學(xué)生對三角函數(shù)性質(zhì)方面有比較透徹的了解，教師在講課方面應(yīng)當(dāng)注重該知識點的掌握及應(yīng)用。

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